[Risolto] Espressione con prodotti notevoli

Potresti anche riscrivere il testo....

Conosci i prodotti notevoli?  (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;

(a + b) * (a - b) = a^2 - b^2.

{(9/4 t^2 - 9t + 9) * [(1/9 + 4t^2 - 4/3 t) * (1/9 + 4t^2 + 4/3 t) - (16t^4 + 8/9 t^2 - 16/9 t^2 -

- 8/81)] - 1/4 t^2}^2 - t^2 + 2t;

Dentro la parentesi quadra risolviamo il primo prodotto che è questo prodotto notevole:

(a - b) * (a + b) = a^2 - b^2.

[(1/9 + 4t^2) - (4/3 t)] * [(1/9 + 4t^2) + (4/3 t)] = (1/9 + 4t^2) ^2 - (4/3 t)^2 =

= 1/81 + 16t^4 + 8/9 t^2 - 16/9 t^2;

{(9/4 t^2 - 9t + 9) * [1/81 + 16t^4 + 8/9 t^2 - 16/9 t^2 - 16t^4 - 8/9 t^2 + 16/9 t^2 +

+ 8/81)] -1/4 t^2}^2 - t^2 + 2t;

Di tutto il polinomio dentro la parentesi quadra resta solo 9/81 = 1/9.

{(9/4 t^2 - 9t + 9) * [9/81] - 1/4 t^2 }^2 - t^2 + 2t;

{9 * (1/4 t^2 - t + 1) * 1/9  - 1/4 t^2}^2 - t^2 + 2t;

{1/4 t^2 - t + 1 - 1/4 t^2}^2 - t^2 + 2t;

{1 - t}^2 - t^2 + 2t;

1 + t^2 - 2t - t^2 + 2t = 1

Ciao @danynad

mi ero persa perché avevo sbagliato a ricopiare il testo dalla figura.

Si dovrebbe mettere il testo scritto, non la foto!

((3/2·t - 3)^2·((1/3 - 2·t)^2·(1/3 + 2·t)^2 - (4·t^2 - 4/9)·(4·t^2 + 2/9)) - 1/4·t^2)^2 - t·(t - 2)=

=((9·t^2/4 - 9·t + 9)·((1/3 - 2·t)^2·(1/3 + 2·t)^2 - (4·t^2 - 4/9)·(4·t^2 + 2/9)) - 1/4·t^2)^2 - t·(t - 2)=

=((9·t^2/4 - 9·t + 9)·((6·t + 1)^2·(6·t - 1)^2/81 - (16·t^4 - 8·t^2/9 - 8/81)) - 1/4·t^2)^2 - (t^2 - 2·t)=

=((9·t^2/4 - 9·t + 9)·((16·t^4 - 8·t^2/9 + 1/81) - (16·t^4 - 8·t^2/9 - 8/81)) - 1/4·t^2)^2 - (t^2 - 2·t)=

=((9·t^2/4 - 9·t + 9)·(1/9) - 1/4·t^2)^2 - (t^2 - 2·t)=

=(1 - t)^2 - (t^2 - 2·t)=

=1

Come mai pensi che tocchi a me la dattilografia tua?
Prova a dare un'occhiata al
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
Poi trascrivi il tutto.

SECONDA RISPOSTA
Santo cielo!
Ma perché non scriverlo subito "sono una mamma che sta cercando di aiutare il figlio"?
Io vedo un'espressione un po' arzigogolata mostrata solo in foto e non in testo, vedo il richiedente @Danynad e penso al solito ragazzotto «Fate un po' voi! Io devo andare in piscina.».
Per uno che aiuta un'altro mi dò da fare con piacere; per una mamma, poi!
Come se fossi mia nuora con uno dei nipotini.
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Trascrivo io e ti mostro:
* come formare su tastiera espressioni con "sintassi da compilatore";
* come semplificare le espressioni così formate su un sito di calcolo simbolico, per verificare;
* se possibile, qualche operazione preliminare (o intermedia) all'applicazione dei prodotti notevoli.
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L'espressione
* ((((3*t/2 - 3)^2)*((1/3 - 2*t)^2)*(1/3 + 2*t)^2 - (4*t^2 - 4/9)*(4*t^2 + 2/9)) - t^2/4)^2 - t*(t - 2)
ha le seguenti proprietà sintattiche
* parentesi solo tonde ([] significano lista e {} insieme)
* ogni subespressione fra parentesi
* operatori infissi espliciti
** carattere "* asterisco", moltiplicando*moltiplicatore, di moltiplicazione;
** carattere "/ barra", dividendo/divisore, di divisione o frazione;
** carattere "^ caret", base^esponente, di esponenziazione.
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Con Copia/Incolla dell'espressione ben formata dal tuo editor alla casella di testo di
http://www.wolframalpha.com/
si ha una verifica che il risultato atteso sia corretto.
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28%28%28%283*t%2F2-3%29%5E2%29*%28%281%2F3-2*t%29%5E2%29*%281%2F3%2B2*t%29%5E2-%284*t%5E2-4%2F9%29*%284*t%5E2%2B2%2F9%29%29-t%5E2%2F4%29%5E2-t*%28t-2%29%3D1
o io ho fatto qualche errore di battitura oppure il valore non è uno.
MI FA MOLTA IMPRESSIONE vedere che @LucianoP SURCLASSA WolframAlpha!
E, dal momento che quella di Luciano è una semplificazione oltre che completa anche breve e che conclude sul risultato atteso, mi sembra superfluo (e dattilografia in più) mostrartene un'altra.
Ti mostro invece un paio di manipolazioni che, da certe configurazioni, aiutano a riportarsi a un prodotto notevole.
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1) t*(t - 2) = t^2 - 2*t = (t - 1)^2 - 1
Il completamento del quadrato: x^2 ± 2*k*x = (x - k)^2 - k^2
{usa | riporta a} i prodotti notevoli "quadrato di binomio" e "differenza di quadrati" (somma per differenza).
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2) (4*t^2 - 4/9)*(4*t^2 + 2/9) =
= (4*t^2 - 2/9 - 2/9)*(4*t^2 + 2/9) =
= (4*t^2 - 2/9)*(4*t^2 + 2/9) - (2/9)*(4*t^2 + 2/9) =
= (16*t^4 - 4/81) - (4/81)*(18*t^2 + 1)
Gli smezzamenti (o, almeno, le ripartizioni)
* (x - (a + b)*k)*(x + b*k) = (x - b*k - a*k)*(x + b*k) =
= (x - b*k)*(x + b*k) - a*k*(x + b*k) =
= (x^2 - (b*k)^2) - a*k*(x + b*k)
* ((a + b)*x - k)*(b*x + k) = a*x*(b*x + k) + (b*x - k)*(b*x + k) =
= a*x*(b*x + k) + ((b*x)^2 - k^2)
riportano al prodotto notevole "differenza di quadrati"
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Ti saluto con simpatia (ritrovata, dopo il tuo commento).