Calcolare $\iint_D e^y d x d y$ dove $D$ è il dominio avente la seguente frontiera
$$
+\partial D=\left\{\begin{array}{l}
x(t)=t^2-t \\
y(t)=\log (1+t)-t
\end{array} \quad t \in[0,1] .\right.
$$
Calcolare $\iint_D e^y d x d y$ dove $D$ è il dominio avente la seguente frontiera
$$
+\partial D=\left\{\begin{array}{l}
x(t)=t^2-t \\
y(t)=\log (1+t)-t
\end{array} \quad t \in[0,1] .\right.
$$
21
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Livello 0
Usando il Teorema di Gauss Green nel piano
S_dD+ [A(x,y) dx + B(x,y)dy ] = SS_[D] (dB/dx - dA/dy) dx dy
puoi trasformare
SS_[D] e^y dx dy in S_dD+ (xe^y) dy
e quindi calcolare
S_[0,1](t^2 - t) e^[ln(1+t) - t] *(1/(1+t) -1) dt =
= S_[0,1] (t^2 - t) *(1+t) e^(-t) * (-t)/(1+t) dt =
= S_[0,1] (t^2 - t^3) e^(-t) dt
e questo lo svolgi per parti o col metodo di somiglianza
e Symbolab dà 11/e - 4
37009
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Livello 6
@eidosm ma quindi si può svolgere anche non rappresentandola graficamente?
Secondo me la rappresentazione grafica sarebbe problematica perché la frontiera é assegnata in forma parametrica non esplicitabile.
@eidosm esattamente il motivo per cui mi ero bloccata nella risoluzione, più che altro per il dubbio sulla percorrenza di eventuali integrali di linea che vanno a comporre l'integrale totale sulla frontiera
* (x = t^2 - t) & (y = ln(1 + t) - t) & (0 <= t <= 1) ≡
≡ (t = 1/2) & (y = ln(3/2) - 1/2) & (x = - 1/4)
oppure
≡ (t = (1 - √(4*x + 1))/2) & (y = ln((3 - √(4*x + 1))/2) + (√(4*x + 1) - 1)/2) & (- 1/4 < x <= 0)
oppure
≡ (t = (1 + √(4*x + 1))/2) & (y = ln((3 + √(4*x + 1))/2) - (√(4*x + 1) + 1)/2) & (- 1/4 < x <= 0)
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Genius I
@exprof mi scusi, ma non mi è molto chiaro il ragionamento, potrebbe esplicitarlo?
@gaia_apice & p.c. @EidosM
ti ringrazio assai del voto negativo senza nemmeno dieci parole di motivazione che mi facessero comprendere perché non ti sei accorta che la frontiera te l'avevo esplicitata a tratti, più o meno come scrivere la circonferenza unitaria in forma
y = ± √(1 - x^2)
In tal modo nella mia prossima risposta scriverò daccapo qualcosa che ti irriterà e mi ti farà dare un altro voto negativo e così avrai un responsore di meno.
Nel porgerti il migliore augurio per il tuo futuro ti invio il link al grafico della frontiera
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dln%28%283-%E2%88%9A%284*x%2B1%29%29%2F2%29%2B%28%E2%88%9A%284*x%2B1%29-1%29%2F2%2Cy%3Dln%28%283%2B%E2%88%9A%284*x%2B1%29%29%2F2%29-%28%E2%88%9A%284*x%2B1%29%2B1%29%2F2%5Dx%3D-1%2F4to0
@exprof dal suo commento si capisce solo che è qui non per aiutare, detto ciò, la poca chiarezza della sua argomentazione non mi fa capire da dove esca la circonferenza che ha esplicitato, ma non mi aspetto una risposta a questo punto, buona giornata.