In un riferimento cartesiano il punto O(6;6) è il punto di intersezione delle diagonali di un rettangolo le cui dimensioni sono una i 2/3 dell'altra. Determina le coordinate dei vertici del rettangolo. C'è una sola soluzione?
In un riferimento cartesiano il punto O(6;6) è il punto di intersezione delle diagonali di un rettangolo le cui dimensioni sono una i 2/3 dell'altra. Determina le coordinate dei vertici del rettangolo. C'è una sola soluzione?
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Livello 1
No, abbiamo infinite soluzioni.
Se b=(2/3)*h
Determino i vertici del quadrilatero come intersezione tra le rette passanti per O di coefficiente angolare ±(3/2) e la circonferenza di centro O e diametro congruente con la lunghezza della diagonale.
{y - 6 = ±(3/2)*(x-6)
{(x-6)² + (y-6)² = (b²+h²) /4
Se b=(3/2)*h
Determino i vertici del quadrilatero come intersezione tra le rette passanti per O di coefficiente angolare ±(2/3) e la circonferenza di centro O e diametro congruente con la lunghezza della diagonale
{y - 6 = ±(2/3)*(x-6)
{(x-6)² + (y-6)² = (b²+h²) /4
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Genius II
@StefanoPescetto
Che cosa doppiamente strana!
Ci votiamo fra di noi che sviluppiamo le risposte articolate (io non lo faccio mai per simpatia, ma solo per apprezzamento particolare: di solito non voto.) e ai richiedenti non gliene può fregare di meno. Ce ne sono tre o quattro a cui ho dato più di venti risposte ed anche spiegandogli parecchi argomenti, non solo svolgendo problemi, e MAI una volta che m'avessero votato.
Boh ... Saluti.
"C'è una sola soluzione?" Certamente no!
Così a naso direi che ce ne sia una molteplice infinità, ma per esprimermi sulla molteplicità e sapere quanti gradi di libertà ha quell'infinito devo prima contare di quanti parametri sia funzione la soluzione; sempre a naso direi due: un orientamento e una lunghezza, cioè il vettore con la cocca in K(6, 6) [nel riferimento cartesiano il nome "O" è riservato al punto O(0, 0)] e la punta in un vertice.
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Nell'ipotesi che i lati del rettangolo ABCD siano paralleli agli assi coordinati e di dimensioni
* b = |AB| = |DC|
* h = |AD| = |BC| = (2/3)*b
le coordinate dei vertici del rettangolo sono (6 ± (1/2)*b, 6 ± (1/3)*b) cioè
* A(6 - b/2, 6 - b/3), B(6 + b/2, 6 - b/3), C(6 + b/2, 6 + b/3), D(6 - b/2, 6 + b/3)
e le diagonali sono
* d = |AC| = |BD| = (√13/3)*b
Il luogo dei possibili vertici, al variare di "b" e mantenendo quest'orientamento, è l'iperbole degenere Γ1 costituita dalle due rette su cui giacciono le diagonali
* AC ≡ 2*x - 3*y + 6 = 0
* BD ≡ 2*x + 3*y - 30 = 0
* Γ1 ≡ ((x - 6)/3)^2 = ((y - 6)/2)^2
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Il luogo dei possibili vertici, al variare dell'orientamento e mantenendo questo "b", è la circonferenza Γ2 centrata in K(6, 6) e di raggio r = d/2 = (√13/6)*b
* Γ2 ≡ (x - 6)^2 + (y - 6)^2 = (13/36)*b^2
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Applicando a Γ1 e a Γ2 la rotazione del medesimo angolo θ
* (x = X*cos(θ) − Y*sin(θ)) & (y = X*sin(θ) + Y*cos(θ))
si hanno infine le formule più generali
* γ1 ≡ (((x*cos(θ) − y*sin(θ)) - 6)/3)^2 = (((x*sin(θ) + y*cos(θ)) - 6)/2)^2
* γ2 ≡ ((x*cos(θ) − y*sin(θ)) - 6)^2 + ((x*sin(θ) + y*cos(θ)) - 6)^2 = (13/36)*b^2
le cui intersezioni esprimono in funzione dei due parametri (b, θ) un'infinità di quaterne di vertici, con due gradi di libertà come previsto.
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Genius I