Come promesso ho scritto una verifica sulle derivate, dato che è per gli utenti di questo sito ho alzato di molto l'asticella 😉 . Consiglio comunque lo svolgimento del primo e del secondo livello ad un liceale qualsiasi che si sta preparando per le proprie verifiche. Il Jolly menziona gli spazi metrici completi solamente nell'enunciato, non è richiesto conoscerli per lo svolgimento dell'esercizio.
Spoiler
Codice LaTeX
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% ---------------- IMPAGINAZIONE ----------------
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% ---------------- MATEMATICA ----------------
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% ---------------- TABELLE ----------------
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% ---------------- LISTE ----------------
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\setlist{
itemsep=0.3em,
topsep=0.3em,
parsep=0pt
}
% ================= DOCUMENTO =================
\begin{document}
\begin{center}
{\Large \textbf{Verifica di Matematica}}\\[0.2cm]
Nome: \underline{\hspace{4cm}} \hfill
Classe: \underline{\hspace{2.5cm}} \hfill
Data: \underline{\hspace{2.5cm}}
\end{center}
\textit{Ogni risposta deve essere giustificata. Qualora mancasse la giustificazione, l'esercizio verrà considerato non valido (0pt) a prescindere dal risultato ottenuto.}
\vspace{0.2cm}
{\small
\begin{tabularx}{\textwidth}{|C{1.2cm}|C{0.8cm}|X|C{2cm}|}
\hline
\textbf{Livello} & \textbf{N.} & \textbf{Esercizio} & \textbf{Punti} \\
\hline
\multirow{4}{*}{I}
& 1 &
Si calcolino le derivate delle seguenti funzioni nei loro domini di definizione:
\begin{enumerate}[label=\roman*.]
\item $f_1(x)=e^{\sin x} \cos x+x^3+23$;
\item $f_2(x)= x^x+\cos (\sqrt{x})+\frac{\sin x}{\cos x}+2\sqrt{x}+5$;
\item $f_3(x)= e^{x^2}+2\cos ( \sin x)+73$.
\end{enumerate}
& \dots/4pt \\
\cline{2-4}
& 2 &
Si calcoli la derivata di una delle seguenti funzioni in $\mathbb{R}$ mediante la definizione:
\begin{enumerate}[label=\roman*.]
\item $g_1(x)=x^2$;
\item $g_2(x)=\sin x$;
\item $g_3(x)=1$.
\end{enumerate}
& \dots/3pt \\
\cline{2-4}
& 3 &
Si individui l'equazione della retta tangente alla parabola di equazione $\gamma: y=2x^2+3$ nel punto $(1,5)$.
& \dots/4pt \\
\cline{2-4}
& 4 &
Svolgere una delle seguenti consegne:
\begin{enumerate}[label=\roman*.]
\item Si dimostri la proprietà di linearità della derivata;
\item Si spieghi il significato geometrico della derivata;
\item Sia $f(x)=1+x^2+x^3$, individuare e classificare i punti stazionari e di flesso nel dominio massimale di definizione;
\item Dire se la funzione $h(x)=x^2+3$ soddisfa le condizioni del teorema di Rolle nel compatto $[-n,n]\subset \mathbb{R}$, ove $n \in \mathbb{N}$.
\end{enumerate}
& \dots/5pt \\
\hline
\multirow{2}{*}{II}
& 1 &
Tra tutti i rettangoli di dato perimetro $2p$, determinare quello con diagonale minima.
& \dots/6pt \\
\cline{2-4}
& 2 &
Il calcolo della derivata parziale di una funzione rispetto a una variabile si svolge considerando costanti le variabili non interessate dall'operatore. Calcolare le derivate parizali rispetto $y$ e rispetto $z$ della seguente funzione:
$g(x,y,z)=e^{xy^2}+3y+\sin (xy) +2x+2zy^{2}x+e^{zx}$.
\textit{Esempio: $\frac{\partial}{\partial y} (x^5y+2y)=x^5+2$}.
& \dots/5pt \\
\hline
III
& 1 &
\textbf{Funzione lipschitziana}. Una funzione $f: A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si dice lipschitziana se esiste una costante $\lambda \geq 0$ tale che $|f(x_2)-f(x_1)| \leq \lambda |x_2-x_1|$ per ogni coppia di punti $x_1, x_2 \in A$.
\begin{enumerate}[label=\roman*.]
\item Dimostrare che la funzione $f(x)=\sin x$ è lipschitziana su $\mathbb{R}$ e determinare la costante di Lipschitz;
\item \textit{Bonus: considerando il valore assoluto come una distanza, che significato geometrico presenta la lipschitzianità?}
\end{enumerate}
\textit{Suggerimento: si utilizzi il Teorema di Lagrange.}
& \dots/10pt \\
\hline
Jolly
& 1 &
\textbf{Teorema di Banach-Caccioppoli sulle contrazioni.} Sia $(X,d)$ uno spazio metrico completo non vuoto. Sia $T: X \to X$ una contrazione su $X$, ossia un'applicazione lipschitiziana con costante di Lipschitz $\lambda \in [0,1)$. Allora la mappa $T$ ammette uno e un solo punto fisso: $x^\star=T(x^\star)$, $x^\star \in X$.
Data $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ di mappa $x=(x_1,x_2) \mapsto (\alpha x_1+v_1, \beta x_2 +v_2)$, con $\alpha, \beta \in [0,1)$, verificare che questa è una contrazione in $( \mathbb{R}^2, | \cdot |)$ e se ne calcoli il punto fisso.
& \dots/15pt \\
\hline
\end{tabularx}
}
\vspace{0.3cm}
\textit{Il questionario è stato scritto e condiviso da RebC - SOS Matematica.}
\vfill
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Voto:} & 4,5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10L \\
\hline
\textbf{Punteggio:} & $<5$ pt & 5 pt & 6 pt & 10 pt & 12 pt & 14 pt & 18 pt & $>18$ pt \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\textit{Buon lavoro!}
\end{center}
\end{document}
