Verifica di limiti

Problema:

Verifica mediante definizione il seguente limite:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^3}=0$

Soluzione:

Per risolvere questi esercizi generalmente basta aver letto la parte di teoria osservando le immagini sotto le varie definizione. Dal layout il manuale mi sembra quello di Leonardo Sasso, questo argomento viene esposto molto bene lì anche mediante l'utilizzo dei colori. Se il problema non è concettuale, allora è nella parte di conto sicuramente.

Ad ogni modo, la definizione generale di questa tipologia di limite è la seguente:

$\forall \epsilon>0 \exists M>0: x>M \implies |f(x)-l|<\epsilon$ con $\epsilon$ si intende un valore molto piccolo sull'asse delle ordinate mentre con $M$ un valore molto grande sull'asse delle ascisse. 

L'obiettivo è mostrare che $x>M$ quando $|\frac{1}{x^3}-0|<\epsilon$.

$-\epsilon<\frac{1}{x^3}<\epsilon$

$x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt[3]{\epsilon}}) \cup (\frac{1}{\sqrt[3]{\epsilon}}, +\infty)$

Poiché è noto che $x \to +\infty$, $x$ non può essere negativo. Si ottiene quindi:

$x \in (\frac{1}{\sqrt[3]{\epsilon}}, +\infty)$, ossia $x>M$, ove $M>\frac{1}{\sqrt[3]{\epsilon}}$.