[Risolto] Riuscite ad aiutarmi a risolvere dei problemi di Trigonometria?

Chiamiamo con θ gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco BC.

Per costruzione il triangolo ABC è rettangolo in quanto APC è rettangolo pure esso: ne consegue che 

AC è diametro della circonferenza e ipotenusa comune dei due triangoli considerati.

Con riferimento alla figura dobbiamo ora considerare la somma:

2·r·COS(θ)+2·r·SIN(θ)

Siccome θ è complementare ad α per costruzione, deve risultare:

TAN(θ) = COT(α) = 1/√15 = √15/15

da cui ricaviamo:

TAN(θ) = SIN(θ)/√(1 - SIN(θ)^2)------> √15/15 = v/√(1 - v^2)

quindi risolvendo: SIN(θ) = v = 1/4

quindi:

COS(θ) = √(1 - (1/4)^2)= √15/4

e quindi la somma desiderata:

2·r·(√15/4 + 1/4) = r·((√15 + 1)/2)

214

In un triangolo ABC il lato a misura 2 +√3 e gli angoli ad esso adiacenti sono l'uno di ampiezza ϒ = 60° e l'altro β ha il seno uguale a 0,8 . Quanto vale l'area A' del cerchio inscritto nel triangolo?

angolo α = 180°-60°-arcsin 0,80 = 66,87°

sin α= 0,9196 

a = 2+√3 = 3,732 u 

sin α / (2 +√3) = sin ϒ /c

c = √3 /2 * (2+√3) / 0,9196 = 3,5146 u

sin α / 2 +√3 = sin β /b

b = 0,8 * (2+√3) / 0,9196 = 3,2467 u

semiperimetro p = (a+b+c)/2 = 5,2466 u

area A = a*b*sin β /2 = 0,4*3,732*3,2467 = 4,8467 u^2

raggio r = A/p = 4,8467/5,2466 = 0,9238 u

area A' = π*r^2 = 3,14159*0,9238^2 = 2,681 u^2

233

In un triangolo 𝐴⁢𝐵⁢𝐶 il lato 𝐵⁢𝐶 è doppio del lato 𝐴⁢𝐵. Sapendo che cos⁡𝐴⁢̂𝐵⁢𝐶 =1/4 e che il perimetro del triangolo è 10⁢ cm, determina le lunghezze dei lati del triangolo.
(Suggerimento: poni ―――𝐴⁢𝐵 =𝑥 e imposta un'equazione, utilizzando il teorema del coseno.) [𝐴⁢𝐵 =2⁢ cm⁢e⁢𝐵⁢𝐶 =𝐴⁢𝐶 =4⁢ cm]

AB = x

BC = 2x 

AC = √x^2+4x^2-4x^2*1/4 = √4x^2 = 2x

perimetro 2p = AB+BC+AC = x+2x+2x = 5x 

x = AB = 10/5 = 2cm

BC = 2x = 4 cm

AC = 2x = 4 cm 

è un triangolo isoscele di altezza CH = √4^2-1 = √15 cm  ed area A = 2*√15 /2 = √15 cm^2 

105

Due corde consecutive 𝐴⁢𝑃 e 𝑃⁢𝐵 di una circonferenza di raggio 𝑟 sono tali che tan⁡𝐴⁢̂𝑃⁢𝐵 =√15. Da 𝑃⁢traccia⁡𝑙2 perpendicolare alla corda 𝐴⁢𝑃, indicando con 𝐶 l'ulteriore punto di intersezione di tale retta con la circonferenza, Determina ―――𝐴⁢𝐵 +―――𝐵⁢𝐶.

angolo APB = arctan √15 = 75,5225°

cos 75,5225° = 1/4 

AB = √AP^2+BP^2-2AP*BP*1/4 

AB = √AP^2+BP^2-AP*BP/2

BC = √4r^2 +AP^2+BP^2-AP*BP/2