A differenza dei quesiti anti-noia qui pubblicherò quesiti (non standard) risolvibili anche da studenti delle superiori.
Quanti sono i triangoli rettangoli di lati interi tali che il diametro della circonferenza inscritta è uguale a 600?
A differenza dei quesiti anti-noia qui pubblicherò quesiti (non standard) risolvibili anche da studenti delle superiori.
Quanti sono i triangoli rettangoli di lati interi tali che il diametro della circonferenza inscritta è uguale a 600?
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Livello 6
@rebc bel quesito, non lo so. Non chiedo all'intelligenza artificiale. Ogni risposta di AI richiede 1 m^3 d'acqua. Già consumiamo tanta energia stando qui a rispondere... Buon anno 2026. Ciao.
@mg Anche io non sono giunta alla soluzione, so solo che il valore è $45$....
Credo che il mio ragionamento sia corretto, ma se non torna significa che sto escludendo qualcosa...
Per quanto riguarda l’AI, almeno quelle attualmente disponibili gratuitamente al pubblico, da ciò che ho visto non sono ancora in grado di risolvere quesiti di questo tipo; quindi è anche inutile provare a interrogarle.
So però che, al momento, le attività di ricerca mirano a farle diventare veri e propri matematici. Chissà come cambierà la matematica e il ruolo dei matematici in futuro…
https://m.youtube.com/watch?v=3l1RMiGeTfU&pp=ygUeRnV0dXJlIG9mIG1hdGhlbWF0aWNzIGFmdGVyIGFp
Buon 2026 anche a te 🙂
@rebc bisogna stare attenti. Ci si innamorati di A.I.! Le ho chiesto una cosa su un grave problema accaduto poco dopo la mia nascita, del quale nessun medico ha saputo spiegare con certezza in quanto a quei tempi non c'era possibilità di esami come oggi. Mi ha risposto con molta "attenzione, professionalità, empatia". Mi ha convinto della diagnosi... mi è sembrato mi volesse bene. Ti saluto rebc. Buon lavoro. Sei forte.
@rebc ....affascinante argomento ☺....felice Domenica!!
r = (a + b - c)/2
r è il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo di cateti a, b e di ipotenusa c
r = 300 (ad es. cm per fissare le idee)
300 = (a + b - c)/2---> c = a + b - 600
Th Pitagora:
a^2 + b^2 = c^2
a^2 + b^2 = (a + b - 600)^2
a^2 + b^2 = a^2 + 2·a·b - 1200·a + b^2 - 1200·b + 360000
semplificando:
2·a·b - 1200·a - 1200·b + 360000 = 0
a·(b - 600) - 600·b + 180000 = 0-----> a = 600·(b - 300)/(b - 600)
anche: a = 180000/(b - 600) + 600
Quindi poniamo:
600 < a < b < c con a, b, c naturali
Con il calcolatore il N° di divisori di 180000 è 90
DIVISORS(180000) = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 60, 72, 75, 80, 90, 96, 100, 120, 125, 144, 150, 160, 180, 200, 225, 240, 250, 288, 300, 360, 375, 400, 450, 480, 500, 600, 625, 720, 750, 800, 900, 1000, 1125, 1200, 1250, 1440, 1500, 1800, 1875, 2000, 2250, 2400, 2500, 3000, 3600, 3750, 4000, 4500, 5000, 5625, 6000, 7200, 7500, 9000, 10000, 11250, 12000, 15000, 18000, 20000, 22500, 30000, 36000, 45000, 60000, 90000, 180000]
Quindi tali divisori devono essere incrementati di 600 per avere un quoziente esatto del rapporto che figura sopra per ottenere a.
Se non è errato il ragionamento : 90/2=45 sono i triangoli rettangoli che formano la terna considerata.
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Genius III
@lucianop 👍👌👍++++felice Domenica
Contraccambio di cuore i tuoi auguri, amico mio.
r è la distanza dall'incentro O.
r = (c1 + c2 - i) / 2;
r = (4 + 3 - 5) / 2 = 1.
diametro = 2;
diametro = 600?
c1 + c2 - i = 600;
c1 + c2 = i + 600;
c1^2 + c2^2 = i^2
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Genius II
@mg ....felice Domenica
Ho capito benissimo che dobbiamo partire da
a + b - c = 600
a^2 + b^2 = c^2
a, b, c terna pitagorica.
Ma qui per ora mi blocco, perché dovrei ricordare come si genera una terna pitagorica a partire da un numero.
Potrebbe essere m^2 - n^2, 2 mn, m^2 + n^2 ?
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Livello 7
@eidosm io anche sono partita da lì scoprendo una relazione che non conoscevo tra il raggio della circonferenza inscritta e i lati.
$c=a+b-600$
Quindi $a^2+b^2=(a+b-600)^2$
Ossia $0=600\cdot 600 +2ab -1200a-1200b$
Da qui si divide per $2$
$0=180000+ab-600a-600b$
L'obiettivo è sciogliere $ab$, lo si può fare in vari modi ma il più funzionale è notare che $(600-a)(600-b)=600²-600b-600a+ab$
Quindi si ha $0=180000+(600-a)(600-b)-600^2$
Ossia $180000=(600-a)(600-b)$, da qui dato che $a, b$ sono interi si può riscrivere il tutto come $180000=xy$.
Dato che anche $x,y$ sono interi vale che $y \mid 180000$, quindi il numero di triangoli rettangoli possibili dovrebbe essere il numero di divisori di $180000$.
Si nota quindi che $180000=18 \cdot 10^4=2\cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 2^4=2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^4$.
Da qui diventa un problema di combinatoria (mio punto debole) che devo ancora risolvere.
In rete ho trovato anche questo: https://mathschallenge.net/library/number/number_of_divisors
Quindi il numero di triangoli dovrebbe essere $d(180000)=(5+1)(2+1)(4+1)=(6)(3)(5)=(18)(5)=90$.
Stando al file da dove ho preso il problema però la soluzione dovrebbe essere $45$, purtroppo è espressa solo numericamente senza i passaggi.
Suppongo bisogni trovare il modo di rimuovere i valori di $a,b$ più grandi di $600$.
Si può notare che $600=(2)(3)((5)(2))²=(2³)(3)(5²)$, bisogna quindi rimuovere tutti i $2^a 3^b 5^c≥600$, ove $max(a)=5, max(b)=2, max(c)=4$.
Si possono già togliere le terne:
$(3,1,2), (3,1,3), (3,1,4), (3,2,2), (3,2,3), (3,2,4)$
Poiché queste sono $6$ e si hanno altri insiemi con la stessa cardinalità a partire da $(4,1,2)$ e $(5,1,2)$, si possono togliere $18$ elementi.
Quindi al momento il numero di triangoli è $72$. Ancora non torna.
l'intelligenza artificiale Copilot dice invece 27
@eidosm strano, che metodo ha usato?
Ho sottoposto il quesito ad una AI specializzata nel calcolo matematico e mi ha confermato sia le procedure adottate da tutti i responsori che la soluzione proposta e trovata da Luciano. Questa è la soluzione individuata dalla AI.
Nota esplicativa
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Livello 8
@gregorius woooooww(👍👌👍)^n...felice Domenica ed auguri di un sollecito e pieno recupero
Ciao. Mi aggiungo agli auguri dell'amico @remanzini_rinaldo (stai andando più veloce di prima! 👍 👍 👍 )