Dire per quali valori di $\alpha >0$ la funzione $f(x,y)=|xy|^\alpha$ è differenziabile in $(0,0)$.
Dire per quali valori di $\alpha >0$ la funzione $f(x,y)=|xy|^\alpha$ è differenziabile in $(0,0)$.
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Livello 6
È qualche anno che non risolvo problemi di questo tipo, quindi è facile che possa commettere degli errori; comunque ci provo 🙂
$f(x,y)$ è differenziabile in $(0,0)$ se
$$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - \vec{\nabla} f (0,0) \cdot (h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0.$$
Le derivate parziali di $|xy|^\alpha$ valutate in $(0,0)$ sono entrambe nulle se $\alpha > 0$:
$$f'_x(0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{1}{t} |t|^\alpha 0^\alpha = 0$$
e uguale per la derivata lungo $y$. Quindi $\vec{\nabla} f (0,0) = (0,0)$ e la condizione di differenziabilità diventa
$$\lim_{(h,k)\to (0,0) } \frac{|hk|^\alpha}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0.$$
Parametrizzando $ h = r\cos\theta, \, k = r\sin\theta$ con $r$ positivo,
$$\lim_{r \to 0^+} r^{2\alpha-1}|\cos\theta \sin\theta|^\alpha= 0$$
che è vero se $\alpha > \dfrac{1}{2}$.
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Livello 1