Sia $X$ un insieme. Si denota $\mathcal{P}(X)$ l'insieme dei sottoinsiemi di $X$, per esempio $\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$. Sia $A \subseteq X$ un sottoinsieme. La funzione caratteristica di $A$ è la $\chi_A : X \to \{0, 1\}$ definita da
\[
\chi_A(x) =
\begin{cases}
1 & \text{se } x \in A, \\
0 & \text{se } x \notin A.
\end{cases}
\]. Dimostrare che la funzione
\[
P(X) \to \{0, 1\}^X, \quad A \mapsto \chi_A
\]
è biunivoca. Dimostrare inoltre che, se $X$ è finito, allora
\[
|\mathcal{P}(X)| = 2^{|X|}.
\]
