Quesito anti-noia #29: matrice inversa.

@rebc Dai miei calcoli risulterebbe che la matrice è invertibile solo se p≠3 (p diverso da 3). Se mi confermi la correttezza del risultato posto la soluzione. Ciao

@gregorius corretto, ma manca una soluzione se si considera $p>0$ dato che il determinante deve essere diverso da 0 in $\mathbb{F}_p$.

$-3 \mod p = 0 \iff p=3, p=1$. 

Quindi le soluzioni al quesito sono il complementare di questo insieme considerato come sottoinsieme di $\mathbb{N} \setminus \{0\}$.

Edit: $\mathbb{F}_p$ è un campo, non un anello, con $p$ primo, quindi necessariamente $p \in \{2,3,5,7,...\}$, bisogna escludere la soluzione $p=1$ dato che $1$ non è considerato numero primo.

@rebc  Scusa, ma ho qualche perplessità in merito. La soluzione $p=1$, non avrebbe senso perché F1 non è un campo (per definizione, i campi finiti Fp​esistono solo per p primo). Quindi l'unico caso problematico dovrebbe essere p=3

La tua osservazione su p=1 è tecnicamente corretta se considerassimo p=1, ma F1​ non è un campo (deve avere almeno due elementi: 0 e 1). Quindi, nell'ambito dell'esercizio, p è un numero primo, e l'unico primo che divide 3 è p=3 Io ero giunto a queste conclusioni. Ma forse mi sfugge qualcosa.

Se p=3, allora det⁡(A)=−3≡0 (mod3), quindi la matrice non è invertibile.

Se p≠3, allora det⁡(A)=−3 ≢0(modp), quindi la matrice è invertibile

@gregorius Sì, scusa, in effetti non ho considerato io $\mathbb{F}_p$ come un campo (va considerato tale per la notazione) , ma ho considerato l'operazione modulo in generale su un anello. La tua risposta è corretta, scusa ancora per l'errore.