Quesito anti-noia #15: spazio delle soluzioni

• una Base di $U_1$

Il sistema cartesiano ha due variabili libere. Poniamo

1. $x_3 = t$
2. $x_4 = s $

per cui 

   3. $ x_2 = t$

   4. $ x_1 = t+s $

L'insieme S delle soluzioni di $U_1$ è dato dalla

$ S = \{(t,s)\in \mathbb{R} | (t+s, t, t, s)\} = t(1,1,1,0) + s(1,0,0,1)$

((1,1,1,0); (1,0,0,1)) è una base del sottospazio $U_1$

• una Base di $U_2$

Analogamente al caso precedente si arriva a determinare una base del sottospazio $U_2$

((1,1,1,0); (0,1,0,1)) è una base del sottospazio $U_2$

• una Base di $U_1 + U_2$

Osserviamo che le due basi hanno un elemento in comune (1, 1, 1, 0) quindi la dimensione della somma non può che essere minore o eguale a 3.

Osserviamo inoltre che i 3 vettori 

((1,1,1,0); (1, 0,0,1); (0,1,0,1)) sono linearmente indipendenti. Sono quindi una base per la somma $U_1 + U_2$.

• Equazione cartesiana che caratterizza il sottospazio somma $U_1 + U_2$.

Costruiamo la matrice composta dai 4 vettori basi di $U_1$ e $U_2$ e della colonna con le variabili $x_1, x_2, x_3, x_4$.

$ \begin{pmatrix} 1&1&1&0&x_1\\1&0&1&1&x_2\\ 1&0&1&0&x_3\\0&1&0&1&x_4 \end{pmatrix} $

Operando con l'algoritmo di Gauss, si ottiene (salvo errori)

$ \begin{pmatrix} 1&1&1&0&x_1\\0&1&0&-1&x_1-x_2\\ 0&0&0&-2&2x_3+2x_1\\0&0&0&0&x_4-3x_1 +x_2+2x_3 \end{pmatrix} $

Per avere il rango dell'ultima matrice pari a 3 (che corrisponde alla dimensione della somma) è necessario che valga l'equazione

$  3x_1-x_2-2x_3-x_4 = 0 $

che rappresenta l'equazione cartesiana le cui soluzioni sono in sottospazio vettoriale $U_1 + U_2$.