La funzione in rosso è la funzione $f_3$. Chiediamo che sia maggiore di $f_1$ (azzurro) e $f_2$(blu scuro):
Cominciamo con $f_3 > f_1$:
$4\sin(2x) > 6\cos^2x$
$ 8\sin x \cos x > 6 \cos^2 x$
Nell'intervallo che consideriamo, compreso tra $0$ e $\pi/2$, il coseno è positivo, per cui possiamo dividere per $\cos x$:
$ 8\sin x > 6\cos x$
Dividiamo per $\cos x$:
$ 8 \tan x > 6 $
e otteniamo che:
$ \tan x > \frac{3}{4}$
$ \arctan \frac{3}{4} < x < \frac{\pi}{2}$
Ora poniamo $f_3 > f_2$:
$4\sin(2x) > \tan x + \cot x$
$8\sin x \cos x > \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}$
Moltiplico tutto per $\sin x \cos x$ che di nuovo sono positivi in questo intervallo:
$8\sin^2 x \cos^2 x > \sin^2 x + \cos^2 x$
$8\sin^2 x \cos^2 x > 1$
Nota che $(\sin 2x)^2 = (2\sin x \cos x)^2 = 4\sin^2 x \cos^2 x $ dunque possiamo riscrivere come:
$ 2 (\sin 2x)^2 > 1$
$ \sin^2 2x > \frac{1}{2}$
tenendo sempre presente che il seno è positivo abbiamo l'unica soluzione:
$ \sin 2x > \frac{\sqrt{2}}{2}$
da cui
$ \frac{\pi}{4} < 2x < \frac{3\pi}{4}$
$ \frac{\pi}{8} < x < \frac{3\pi}{8}$
Questa messa insieme alla condizione precedente, ci dà la soluzione:
$ \arctan \frac{3}{4} < x < \frac{3\pi}{8}$
Infine:
$g(x)= \frac{\sqrt{f_2(x)}}{\log f_3(x)}=\frac{\sqrt{\tan x + \cot x}}{\log(4\sin(2x) )}$
Dobbiamo chiedere che la $f_3$ sia strettamente positiva e questo, dal grafico, si vede che accade per:
$ 0<x<\pi/2$
Inoltre anche $f_2$ dev'essere positiva, ma lo è sempre. Dunque il dominio è semplicemente
$ 0<x<\pi/2$
Noemi
