Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] Geometria analitica nello spazio

  

2

Distanza tra due rette sghembe. Dopo avere verificato che le due rette
$r:\left\{\begin{array}{l}x-2 y+2=0 \\ y-z=0\end{array}\right.$

$$
s:\left\{\begin{array}{l}
x=-1+t \\
y=1+2 t \\
z=1-t
\end{array}\right.
$$

sono sghembe, determina la distanza tra le due rette in due modi diversi.
a. Determina i due punti $P \in r$ e $Q \in s$, tali che $P Q$ sia perpendicolare sia a $r$ sia a $s$; determina quindi la distanza tra res, calcolando la lunghezza di $P Q$;
b. Nel fascio di piani di sostegno la retta $r$, determina il piano $\alpha$ parallelo a $s$; determina quindi la distanza tra $r$ e $s$, calcolando la distanza tra un punto di $s$ e il piano $\alpha$.
$\left[\right.$ a. $P\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right), Q(-1,1,1), d(r, s)=\overline{P Q}=\frac{\sqrt{3}}{3}$;
b. $\alpha: x-y-z+2=0]$

 

Buongiorno,

Qualcuno mi aiuterebbe con il punto b? Il punto a l'ho già risolto.

Grazie in anticipo!

20250409 163059

 

Autore
Etichette discussione
1 Risposta



4
  • Il fascio Γ: di piani che ha come sostegno la retta r: è

$ Γ: x-2y+2+k(y-z) = 0 $

$ Γ: x+(k-2)y- kz +2 = 0 $

Il vettore $ \vec {v_p}$ dei coefficienti direttori del piano è $ \vec {v_p} = (1, k-2, -k) $

  • Il vettore direttore della retta s: è $ \vec {v_s} = (1,2,-1)$
  • Per avere la retta parallela la piano è necessario che i due vettori siano ortogonali, ovvero che il loro prodotto scalare sia nullo.

$<\vec {v_p}, \vec {v_s}> = 0 $

$<(1, k-2, -k), (1, 2, -1)> = 0 $

$3k-3 = 0 \; ⇒ \; k = 1$

Il piano α ha equazione $x - y - z + 2 = 0$

 

Scegliamo a caso un punto S della retta s: esempio S(-1, 1, 1)

Applichiamo la formula della distanza d di un punto da un piano

$ d(S, α) = \frac{|ax_s+by_s+cz_s+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $

$ d(S, α) = \frac{|-1 - 1- 1+2|}{\sqrt{1+1+1}} $

$ d(S, α) = \frac{\sqrt{3}}{3} $

 

@cmc Ma il fascio di piani come si ottiene? Comunque grazie!

Prendi le due equazioni dei due piani che hanno come sostegno la retta.

Una la scrivi così com'è l'altra la moltiplichi per k.

Questa scrittura del fascio va bene per quasi la totalità dei problemi, se ti chiedessere di rappresentare tutti i piani del fascio allora moltiplichi per h l'equazione di un piano e per k l'equazione del piano rimasto. In altre parole ne fai una combinazione lineare.

@cmc Ah, grazie, non era mai stato spiegato dalla prof. quindi non ne avevo idea.

Tieni presente che non è altro che la generalizzazione del fascio di rette.



Risposta