Ricordando l'identità di Eulero per i numeri complessi ($e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$), sono riuscito a trovare un metodo generale per ricavare $\sin(nx)$ e $\cos(nx)$ in funzione di $\cos(x)$ e $\sin(x)$. Nonostante questo metodo sia meno estenuante della reiterazione della formula di addizione, non sono soddisfatto: ci vogliono comunque troppi calcoli. Mi chiedevo se potesse esistere una formula generale chiusa per determinare $\sin(nx)$ e $\cos(nx)$ in funzione di $n$. Mi sorge la curiosità di sapere se vi siano alternative alle formule ricavabili usando questo metodo (cioè se quelle sono le uniche a meno di scritture equivalenti o più eleganti). Per la vostra convenienza ho scritto anche un programma che, dato $n$, fornisce automaticamente le funzioni di $\cos(nx)$ e $\sin(nx)$ in funzione di $\cos(x)$ e $\sin(x)$. Non è perfetto, non l'ho programmato per ridurre il più possibile (non è in grado, ad esempio, di semplificare $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=2\cos^2(x)-1$), ma le formule che restituisce sono esatte (anche se molto lunghe per $n>11$). Allego un PDF contenente la spiegazione del metodo e un file .txt con il codice del programma in Python. È consigliato eseguire il programma sul prompt dei comandi.
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