Determina gli intervalli dove la seguente funzione è crescente o decrescente e gli eventuali punti di massimo, minimi relativo e di flesso a tangente orizzontale

y = SIN(x)/(2 + COS(x))-----> (2·COS(x) + 1)/(COS(x) + 2)^2

La funzione è definita su tutto R . E' periodica di periodo T = 2·pi. Dispari perché rapporto fra due funzioni a N(x) dispari ed a D(x) pari.

Sia la funzione che la sua derivata prima sono definite su tutto R in quanto il D(x) risulta strettamente positivo.

Per la crescenza e la decrescenza della funzione è sufficiente esaminare il segno del N(x) della y'.

Quindi i punti di stazionarietà sono:

2·COS(x) + 1 = 0-----> x = 4·pi/3 ∨ x = 2·pi/3 

La f(x) cresce per:

I punti A e B sono dati da: 

{2·Χ + 1 = 0

{Χ^2 + Υ^2 = 1

[Υ = √3/2 ∧ Χ = - 1/2, Υ = - √3/2 ∧ Χ = - 1/2]

(Χ = COS(x) ; Y = SIN(x))

- 2/3·pi < x < 2/3·pi  in cui y' >0

in generale:

- 2/3·pi + 2·k·pi < x < 2/3·pi + 2·k·pi

la f(x) decresce per 

2/3·pi < x < 4/3·pi

in generale:

2/3·pi + 2·k·pi < x < 4/3·pi + 2·k·pi

Nella prima figura puoi individuare i punti di max e di min per la funzione in esame.

$ y(x) = \frac{sin\,x}{2+cos\,x}$

• Dominio = ℝ
  • • Sebbene sia una funzione irrazionale il denominatore non si annulla, anzi è positivo in tutto ℝ.
    • La funzione y(x) è una funzione continua in tutto ℝ.
    • La funzione y(x) è una funzione derivabile in tutto ℝ.

Calcoliamo la derivata prima

$ y'(x) = \frac{1+2cos\,x}{(2+cos\,x)^2}$

• Segno y'(x)
  • • Il segno del denominatore è positivo per ogni valore di attribuito alla variabile x
    • quindi il segno della derivata prima è eguale al segno del numeratore.

Usiamo la griglia dei segni

0_____2π/3________4π/3______2π
++++++0---------------0+++++++      y'(x)

....↗...=........↘........=....↗....       y(x) 

Segno y'(x)

• sgn(y'(x)) > 0 in $ 0 + 2kπ < x < \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \lor \quad \frac{4\pi}{3} + 2k\pi   < x < 2\pi + 2k\pi ; \quad$  In questi due intervalli la funzione risulta crescente
• sgn(y'(x)) < 0 in $ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi  < x  < \frac{4\pi}{3} + 2k\pi ; \quad $  In questo intervallo la funzione risulta decrescente
• sgn(y'(x)) = 0 ovvero punti stazionari. Per $ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \lor \quad \frac{4\pi}{3} + 2k\pi $
• Dalla griglia risulta che
  • • per x =  $ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ si hanno dei massimi (la funzione prima cresce per poi decrescere)
    • per x =  $ \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ si hanno dei minimi (la funzione prima decresce per poi crescere) 

con $ k \in \mathbb{Z} $ 

nota. Abbiamo così esaurito tutti i punti stazionari, la funzione y(x) non ammette flessi a tangente orizzontale.