Es 97

i triangoli CQH e  CPH sono congruenti, hanno un lato in comune CH, CP = CQ per ipotesi; 

gli angoli alla base PQ congruenti, CPQ = CQP. Quindi PH = QH.

Il punto H su PQ ha la stessa distanza dalla retta CR;

CR divide a metà PQ .

Ciao @elisabetta_bressan

$\textbf{a.}$

Possiamo immediatamente notare che $PQC$ è un triangolo isoscele, perché per ipotesi $\overline{PC} \cong \overline{QC}$, ma dato che $\widehat{ACB} \cong \widehat{QCP}$, perché i punti appartengono agli stessi lati dell'angolo, allora i triangoli $ABC$ e $CQP$ sono simili (perché hanno lo stesso angolo in comune ed entrambi sono isosceli, quindi anche gli angoli alla base sono congruenti - si ricorda anche che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti fra loro -). Quindi è anche vero che $\widehat{APQ} \cong \widehat{BQP}$, quindi le bisettrici di questi due angoli dividono ciascuno in due angoli uguali tra loro, allora gli angoli sulla base $\overline{PQ}$ di $PQR$ sono congruenti, quindi $PQR$ è un triangolo isoscele.

$\textbf{b.}$

Dal momento che $\widehat{CPQ} \cong \widehat{CQP}$ e che $\widehat{RQP} \cong \widehat{RPQ}$, è necessariamente vero che $\widehat{CPR} \cong \widehat{CQR}$. I triangoli $CPR$ e $CQR$ sono congruenti per il primo criterio di congruenza$^{[1]}$, quindi $\widehat{PCR} \cong \widehat{QCR}$, allora la retta passante per $\overline{CR}$ è la bisettrice di $\widehat{ACB}$ (e anche di $\widehat{PRQ}$ con lo stesso ragionamento).

$\textbf{c.}$

Indicando con $M$ l'intersezione tra $\overline{CR}$ e $\overline{PQ}$, dal momento che $\overline{PC} \cong \overline{QC}$, che $\widehat{PQC} \cong \widehat{QPC}$ e che $\widehat{PCR} \cong \widehat{QCR}$ (come abbiamo dimostrato poc'anzi), è semplice notare che $PCM$ e $QCM$ sono congruenti per il secondo criterio di congruenza$^{[2]}$, quindi $\overline{PM} \cong \overline{QM}$, pertanto $M$ è il punto medio di $\overline{PQ}$.

$[1]$ Primo criterio di congruenza dei triangoli: 

Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l'angolo tra di essi compreso congruenti.

$[2]$ Secondo criterio di congruenza dei triangoli:

Due triangoli sono congruenti se hanno due angoli e il lato fra di essi compreso congruenti.