Derivata - problema verso l'esame

L'esercizio è praticamente un tema di esame pertanto lungo...

Svolgo la prima parte ed il grafico della  y = f1(x)

y = e^(a·x) + b·x

y' = a·e^(a·x) + b

y'' = a^2·e^(a·x)

Applico le condizioni date:

{a·e^(a·0) + b = 3

{a^2·e^(a·0) = 1

dalla seconda: a^2 = 1----> a = -1 ∨ a = 1

per a = -1:

-1 + b = 3---> b = 4

per a = 1 :

1 + b = 3----> b = 2

Recapitolando il sistema ammette due soluzioni:

[a = 1 ∧ b = 2, a = -1 ∧ b = 4]

che corrispondono alle due funzioni:

y = e^(-x) + 4·x = f1(x)

y = e^x + 2·x = f2(x)

Studio f1(x)

y = e^(-x) + 4·x

La funzione è definita su tutto asse x come pure le sue due derivate:

y'= 4 - e^(-x)

y'' = e^(-x)

y è crescente per y'>0:

4 - e^(-x) > 0---> x > - 2·LN(2)

y è decrescente per y'<0:

4 - e^(-x) < 0---> x < - 2·LN(2)

y è stazionaria per:

4 - e^(-x) = 0---> x = - 2·LN(2)

In tale punto si ha un minimo relativo ed assoluto per la funzione. Verificabile tramite derivata seconda:

y'' = e^(-(- 2·LN(2)))= 4 > 0

In tale punto la funzione è negativa:

y = e^(+ 2·LN(2)) + 4·(- 2·LN(2))----> y = 4 - 8·LN(2) = -1.545 circa

Quindi essendo continua su R deve avere due punti di nullo.

Ha solo un asintoto obliquo destro risultando per m:

LIM((e^(-x) + 4·x)/x) = -∞

x---> -∞

LIM((e^(-x) + 4·x)/x) = 4 ≠ 0

x---> +∞

m = 4

Essendo:

e^(-x) + 4·x - 4·x = e^(-x)

Si ha per q:

LIM(e^(-x)) =0

x---> +∞

Asintoto obliquo: y = 4·x

Qualche elemento sul grafico probabile