Un’ equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza per le equazioni di primo grado, si può scrivere nella forma sottostante.
Le lettere a, b, c rappresentano numeri reali o espressioni letterali e si chiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell’equazione. In realtà c è detto anche termine noto, privo della $x$.
Un piccolo suggerimento è saper riconoscere l’equazione dall’esponente massimo della $x^2$ , che a sua volta indica il grado dell’ equazione. In tal proposito abbiamo 2 come esponente massimo della $x$, quindi si tratterà senza dubbio di un’equazione di 2° grado. Se, ad esempio, abbiamo 3 come esponente massimo della si tratterà di un’equazione di 3° grado e così via.
La seguente tabella schematizza le varie tipologie delle equazioni di secondo grado:
| COEFFICIENTI | FORMA NORMALE | NOME EQUAZIONE |
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$$ax^2+bx+c=0$$ | Spuria |
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Pura |
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$$ax^2=0$$ | Monomia |
Una soluzione (o radice) dell’equazione è un valore che, sostituito all’incognita, rende vera l’uguaglianza fra i due membri.
LA RISOLUZIONE DI UN EQUAZIONE DI SECONDO GRADO
Un’equazione di secondo grado è risolvibile mediante la formula risolutiva seguente, che ci permette di trovare le due soluzioni.
Il discriminante, indicato con la lettera greca (delta), è l’espressione sotto radice della formula risolutiva.
Per sapere se esistono soluzioni reali di un’equazione di secondo grado è sufficiente calcolare il discriminante: se è negativo, non esistono soluzioni reali.
In generale, risolvendo l’equazione possono presentarsi tre casi, che dipendono dal valore del discriminante:
L’equazione ha due soluzioni reali e distinte:
L’equazione ha due soluzioni reali coincidenti:
L’equazione non ha soluzioni reali, ciò in R è impossibile, vi sarà soluzione nel campo dei numeri complessi.
LA FORMULA RIDOTTA
Quando nell’equazione di secondo grado il coefficiente b, è un numero pari, è utile applicare una forma ridotta per facilitarne i calcoli, ed è la seguente:
Per applicarla, si sostituisce il determinante con il determinante riportato qui di seguito, che nella formula risolutiva si trova sotto radice.
Un piccolo consiglio, che per esperienza posso darvi, è di mantenere sempre $x^2$ privo del coefficiente a. Ciò si ottiene banalmente dividendo tutti i coefficienti, presenti nell’equazione, per $x$. In questo modo si evitano possibili errori di distrazione poiché, con questo procedimento, al denominatore della formula risolutiva, il coefficiente suddetto è pari a 1.