Impariamo il rapporto tra due grandezze omogenee A e B, ovvero la misura di A se scegliamo B come unità di misura (campione). Impariamo la proporzione tra quattro grandezze omogenee A, B, C, D, che sono in proporzione se il rapporto tra le prime due è uguale al rapporto tra le ultime due. Impara a riconoscere le grandezze direttamente proporzionali e le grandezze inversamente proporzionali.
Appunti
Cosa è una proporzione? E una grandezza direttamente o inversamente proporzionale? In questa lezione studiamo le relazioni tra grandezze omogenee.
In questa video lezione imparerai:
- Rapporti e proporzioni tra grandezze: definizione e teorema sul rapporto fra grandezze omogenee
- Grandezze direttamente proporzionali: definizione e spiegazione
- Grandezze inversamente proporzionali: definizione e spiegazione
Prerequisiti per imparare rapporti e proporzioni tra grandezze
I prerequisiti per imparare rapporti e proporzioni tra grandezze sono:
grandezze commensurabili e incommensurabili
frazioni.
Rapporti e proporzioni tra grandezze
Iniziamo a studiare il rapporto tra due grandezze omogenee $A$ e $B$, ovvero la misura di $A$ se scegliamo $B$ come unità di misura (campione).
Esiste un teorema che dice che il rapporto $\frac{A}{B}$ tra due grandezze omogenee è uguale al rapporto tra le misure di $A$ e $B$ rispetto a una qualsiasi unità di misura.
Scegliamo $U$ come unità di misura. Se la misura di $A$ rispetto a $U$ è $a$, vale $A=a U$ ese $B$ misura $b$, vale $B=$ $b U$.
Diciamo che quattro grandezze omogenee $A, B, C, D$, sono in proporzionese il rapporto tra le prime due è uguale al rapporto tra le ultime due, cioè se: $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$.
Possiamo scrivere anche $A: B=C$ : $D$.
$A$ e $C$ si chiamano antecedenti; $B$ e $D$ conseguenti. $A$ e $D$ sono gli estremi della proporzione; $B$ e $C$ sono i medi.
Una proporzione è continua se i due medi sono uguali: $P: Q=Q: R$ In questo caso $Q$ si chiama medio proporzionale.
Grandezze proporzionali
Due grandezze $A$ e $B$ omogenee sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante, cioè esiste un numero $k$ tale che $\frac{A}{B}=k$.
Possiamo anche scrivere $A=k B$ e dire che $A$ è direttamente proporzionale a $B$. Attenzione! In pratica, se due grandezze sono direttamente proporzionali, quando una raddoppia (o si dimezza), raddoppia (o si dimezza), anche l’altra.
Due grandezze $A$ e $B$ omogenee sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante: $A B=k$.
Attenzione! In pratica, se $A$ raddoppia, $B$ dimezza; se $A$ triplica, $B$ si riduce a un terzo, e così via…