Calcolare il seguente integrale doppio
$$
\iint_{\Omega} x y^2 d x d y
$$
dove $\Omega:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 1 \leq 2 x^2+3 y^2 \leq 4, x>0, y>0\right\}$.
Calcolare il seguente integrale doppio
$$
\iint_{\Omega} x y^2 d x d y
$$
dove $\Omega:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 1 \leq 2 x^2+3 y^2 \leq 4, x>0, y>0\right\}$.
496
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Livello 2
Le due ellissi, entrambe riferite ai propri assi,
* Γ1 ≡ 2*x^2 + 3*y^2 = 4 ≡ (x/√2)^2 + (y/(2/√3))^2 = 1
* Γ2 ≡ 2*x^2 + 3*y^2 = 1 ≡ (x/(1/√2))^2 + (y/(1/√3))^2 = 1
delimitano una corona ellittica (Γ2 è interna a Γ1) la cui quarta parte (x > 0, y > 0) è Ω.
Nel primo quadrante gli estremi d'integrazione sono
* 0 <= x < 1/√2; √((1 - 2*x^2)/3) <= y <= √(2*(2 - x^2)/3)
* 1/√2 <= x <= √2; 0 <= y <= √(2*(2 - x^2)/3)
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AGGIUNTA dopo aver letto http://www.sosmatematica.it/forum/postid/178773/
* ∫ ∫ [Ω] (x*y^2)*dx*dy =
= ∫ [x = 0, 1/√2] (∫ [y = √((1 - 2*x^2)/3), √(2*(2 - x^2)/3)] (x*y^2)*dy)*dx +
+ ∫ [x = 1/√2, √2] (∫ [y = 0, √(2*(2 - x^2)/3)] (x*y^2)*dy)*dx =
= ∫ [x = 0, 1/√2] (((2*√2)*(2 - x^2)^(3/2) - (1 - 2*x^2)^(3/2))*x/(9*√3))*dx +
+ ∫ [x = 1/√2, √2] ((2*√6)*x*(2 - x^2)^(3/2)/27)*dx =
= 31/(90*√3) - 1/10 + 1/10 =
= 31/(90*√3) ~= 0.198865 ~= 1/5
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Genius I
@exprof Grazie!
@exprof che tipologia di risoluzione conviene intraprendere dopo aver analizzato il dominio omega su cui calcolare l'integrale?
@Lau10
Ho aggiornato la mia risposta, che pensavo fosse sufficiente al di là d'ogni dubbio.
Evidentemente ero troppo fiducioso se, dopo una ventina d'ore, hai sentito la necessità di fare quest'ulteriore richiesta; voglio credere che ora ti riterrai oltre che stanca anche soddisfatta.
Osservazioni lessicali
1) Un integrale, anche doppio, non è né indovinello né enigma né problema: quindi non è oggetto di alcuna risoluzione; è oggetto di calcolo, come tu giustamente scrivi in "calcolare l'integrale".
2) La parola tipologia mi ha fatto raggricciare. Ma tu lo sai che cosa significa? Vai a vedere al link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/176271/
che cosa ho scritto a una tua collega qualche giorno addietro, e prometti di non usarla mai più a sproposito: ti prego!
@exprof la ringrazio nuovamente
4983
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Livello 2
4983
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Livello 2
@alfonso3 grazie! Non mi è tanto chiaro però il procedimento nel passaggio in coordinate ellittiche: la definizione delle coordinate ellittiche non dovrebbe essere univoca?