Considera il triangolo rettangolo $A B C$ che ha gli angoli acuti $\widehat{B}=60^{\circ}$ e $\widehat{C}=30^{\circ}$ e l'ipotenusa $\overline{B C}=2$. Per il vertice $A$ conduci una retta $s$ esterna al triangolo e indica con $B^{\prime}$ e $C^{\prime}$ le proiezioni ortogonali di $B$ e $C$ su di essa. Poni $\widehat{C A} C^{\prime}=x$ e calcola per quale valore di $x$ il perimetro del trapezio $B C C^{\prime} B^{\prime}$ è $2+\sqrt{6}+\sqrt{2}$.
[ $45^{\circ}$ ]
216
punti
Livello 0
BC = 2;
AC = 2 cos30° = radice(3);
AB = 2 * sen30° = 1;
CC' = AC * sen(x) = 2 * radice(3) / 2 * sen(x) = radice(3) sen(x); base maggiore;
BB' = AB * sen(90° - x) = 1 * cos(x); base minore;
B'C' = AB' + AC' = AB * cos(90° - x) + AC cos(x)=
= [1 *cos(90° - x) ] + [2 cos30° cos(x)]; (altezza trapezio);
B'C' = sen(x) + radice(3) cos(x);
Perimetro trapezio BCC'B':
Perimetro = BC + BB' + B'C' + CC';
Perimetro = 2 + cos(x) + sen(x) + radice(3)cos(x) + radice(3) sen(x),
2 + cos(x) + sen(x) + radice(3)cos(x) + radice(3) sen(x) = 2 + radice(6) + radice(2);
2 + cos(x) * [1 + radice(3)] + sen(x) * [1 + radice(3)] = 2 + radice(6) + radice(2);
[cos(x) + sen(x)] * [1 + radice(3)] = radice(6) + radice(2);
[cos(x) + sen(x)] * [1 + radice(3)] = radice(2) * radice(3) + radice(2);
[cos(x) + sen(x)] * [1 + radice(3)] = radice(2) * [radice(3) + 1]
[cos(x) + sen(x)] = radice(2) * [radice(3) + 1] / [1 + radice(3)]
cos(x) + sen(x) = radice(2);
prostaferesi:
cos p + cos q = 2 cos[(p + q)/2] * cos[(p - q)/2];
p = x; q = 90° - x;
cos(x) + cos(90° - x) = 2 * cos[(x + 90° - x) /2] * cos[(x - 90° + x)/2];
cos(x) + cos(90° - x) = 2 cos(90° / 2) * cos[2x - 90°)/2] = 2 cos45° * cos(x - 45°);
2 * [radice(2)/2] * cos(x - 45°) = radice(2);
cos(x - 45°) = radice(2) / radice(2) = 1;
cos(0°) = 1;
x - 45° = 0°
x = 45°.
@saraaaaaaaaaaaaaaaaaaa ciao.
86923
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Genius II
@mg 👍👌🌹👍
triangolo rettangolo ABC
ΑC = b = a·SIN(β) = 2·SIN(60°) = √3
ΑΒ = c = a·SIN(γ) = 2·SIN(30°) = 1
triangolo rettangolo ABB'
SIN(pi - (pi/2 + x)) = COS(x)
Ne consegue che:
h = 1·COS(x)
η = 1·SIN(x)
triangolo rettangolo ACC'
Η = √3·SIN(x)
μ = √3·COS(x)
perimetro trapezio BCC'B':
2 + √6 + √2 = 2 + √3·SIN(x) + √3·COS(x) + SIN(x) + COS(x)
√6 + √2 = √3·SIN(x) + √3·COS(x) + SIN(x) + COS(x)
√6 + √2 = (√3 + 1)·COS(x) + (√3 + 1)·SIN(x)
pongo:
COS(x) = Χ
SIN(x) = Υ
Quindi risolvo:
{(√3 + 1)·Χ + (√3 + 1)·Υ = √6 + √2
{Υ^2 + Χ^2 = 1
ottengo: Υ = √2/2 ∧ Χ = √2/2
ne consegue che:
SIN(x) = COS(x) = √2/2
x = pi/4 = 45°
115507
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Genius III
@lucianop 👍👌👍
Ciao amico.
