[Risolto] Equazione differenziale di secondo grado

λ^2 - 7·λ + 1 = 0 

equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata. La risolvo:

λ = - (3·√5 - 7)/2 ∨ λ = (3·√5 + 7)/2

Quindi:

Υ = α·e^(- (3·√5 - 7)/2·x) + β·e^((3·√5 + 7)/2·x)

è l'integrale generale dell'equazione omogenea.

yP = Α·x + Β è l'integrale particolare dell'equazione completa:

y'P=A

y''P=0

0 - 7·Α + Α·x + Β = x---> Α·x - 7·Α + Β = x---> Α = 1

1·x - 7·1 + Β = x---> x + Β - 7 = x---> Β = 7

yP = x + 7

Quindi:

y = α·e^(- (3·√5 - 7)/2·x) + β·e^((3·√5 + 7)/2·x) + (x + 7)

è l'integrale generale dell'equazione completa. Impongo ora le condizioni:

y(0)=7

y'(0)=1

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y = α·e^(- (3·√5 - 7)/2·0) + β·e^((3·√5 + 7)/2·0) + (0 + 7)

α + β + 7 = 7----> α + β  = 0

y' = β·e^(x·(3·√5/2 + 7/2))·(3·√5/2 + 7/2) + α·e^(x·(7/2 - 3·√5/2))·(7/2 - 3·√5/2) + 1

α·(7/2 - 3·√5/2) + β·(3·√5/2 + 7/2) + 1 = 1  ( è y'(0)=1)

α·(7/2 - 3·√5/2) + β·(3·√5/2 + 7/2)  = 0

Il sistema delle equazioni in grassetto è lineare omogeneo ed ammette l'unica soluzione:

[α = 0 ∧ β = 0]

L'integrale che soddisfa le condizioni di Cauchy è quindi:

y = x + 7