Toerema di ROlle

$ f(x) = \begin{cases} x^2+2x \qquad \qquad \text{x ≤ 1} \\ -2x^2 +8x-3 \quad \text{x > 1} \end{cases} $

1. f(x) è continua in [-3,3]. I due tratti sono funzioni razionali intere quindi continue. Si tratta di verificare che lo sia anche nel punto di raccordo x = 1.

$ f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 $
$ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = -2+8-3 = 3 $  

La funzione risulta continua in [-3, 3]

2. La funzione è derivabile in (-3,3). I due tratti sono funzioni razionali intere quindi derivabili. Si tratta di verificare che lo sia anche nel punto di raccordo x = 1, ovvero che le due derivate laterali siano eguali.

$ f'(x) = \begin{cases} 2x+2 \qquad \text{x≤1} \\ -4x +8 \quad \text{x > 1} \end{cases} $

Le due derivate sono funzioni continue quindi

$ D^- f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f'(x) = 4 $
$ D^+ f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f'(x)) = 4 $

La funzione risulta derivabile in (-3, 3)

3. f(-3) = f(3)

$ f(-3) = 9-6 = 3 $
$ f(3) = -18+24-3 = 3

Anche questa ipotesi è soddisfatta.

Per il teorema di Rolle esiste almeno un punto c tale che f'(x) = 0.

4. Determiniamo i valori di c.

i) per x ≤ 1

$f'(c) = 0 \; ⇒ \; 2c+2 = 0 \; ⇒ \; c_1 = -1 $

ii) per x > 1

$f'(c) = 0 \; ⇒ \; -4c+8 = 0 \; ⇒ \; c_2 = 2 $