Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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11881
punti
Livello 2
a.
$ x \le tanx; \quad \forall x \in (0, \frac{\pi}{4}) $
Consideriamo la funzione ausiliaria
$ \psi(x) = tanx - x $ Osserviamo che:
i) $ \psi(0) = 0 $
ii) $ \psi'(x) = 1+ tan^2x - 1 = tan^2x $ che risulta maggiore o eguale a zero in [0, π/4]
Questo significa che ψ(x) è una funzione crescente in [0, π/4], cioè
tanx - x ≥ 0
tanx ≥ x
b.
$ 2x \ge tanx; \quad \forall x \in (0, \frac{\pi}{4}) $
Consideriamo la funzione ausiliaria
$ \phi(x) = 2x - tanx $ Osserviamo che:
i) $ \phi(0) = 0 $
ii) $ \phi'(x) = 2 - tan^2x - 1 = 1 - tan^2x $ che risulta maggiore o eguale a zero in [0, π/4]
Questo significa che Φ(x) è una funzione crescente in [0, π/4], cioè
2x - tanx ≥ 0
2x ≥ tanx
Conclusione. $ x ≤ tanx ≤ 2x \quad \forall x \in (0, \frac{\pi}{4}) $
21742
punti
Livello 6