Teoremi del calcolo differenziale

Problema:

Dimostra che $\forall x \in \mathbb{R}$ si ha $\sin ^2 x \leq 2|x|$.

(USA Texas A&M University)

Soluzione:

Si può subito notare che $0≤\sin^2 x≤1$ per ogni $x$ reale, mentre $2|x|≥0$ per ogni $x$ reale.

Si ha dunque che $2|x|≥1$ per $|x|≥\frac{1}{2}$, ossia per $x≤\frac{-1}{2}$ e per $x≥\frac{1}{2}$. La proposizione data è quindi sicuramente vera per $x \in (-∞, -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, +∞)$.

Bisogna restringere l'analisi al caso $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Si può subito notare che la funzione $\sin^2 x$ è pari dato che $\sin^2 (x)=\sin^2(-x)=(-\sin x)^2=\sin^2 x$ e allo stesso modo si nota che anche $2|x|$ è pari. Ciò significa che entrambe le funzioni sono simmetriche rispetto l'asse delle ordinate e dunque, poiché l'intervallo anche è simmetrico, basta analizzare la situazione per $x \in (0, \frac{1}{2})$. Le funzioni in questo intervallo sono entrambe derivabili e continue; dato che esse coincidono per $x=0$, è necessario osservare la velocità di crescita di esse. 

Si calcola quindi la derivata prima in tale intervallo.

$D(\sin ^2 x)= \sin 2x$

$D(2x)=2$.

Poiché $\sin 2x≤1$ in tale intervallo e dato che $2>1$, la funzione $2|x|$ cresce più rapidamente e costantemente, dunque essa sarà sempre maggiore di $\sin ^2 x$. 

Per simmetria ciò vale anche in $(-\frac{1}{2}, 0)$.

Se ti interessano queste dimostrazioni in particolare ti consiglio lo studio delle funzioni lipschitziane e hölderiane. 🙂