Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
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Livello 2
y=
{a·x^2 + x + 1 per -2 ≤ x ≤ 0
{b·TAN(x) + c per 0 < x ≤ pi/4
Continuità della funzione in x = 0:
f(0)=a·0^2 + 0 + 1 = 1
LIM(b·TAN(x) + c) = c
x---> 0+
quindi deve essere: c = 1
Per la continuità della derivata deve essere:
f'(x)=2·a·x + 1-----> f'(0)=2·a·0 + 1 =1
(b·TAN(x) + c)'=b/COS(x)^2
LIM(b/COS(x)^2) = b
x---> 0+
quindi deve essere: b = 1
Agli estremi dell'intervallo considerato: -2 ≤ x ≤ pi/4
la funzione deve assumere il medesimo valore:
f(-2) = a·(-2)^2 + (-2) + 1 = 4·a - 1
f(pi/4) = b·TAN(pi/4) + c = b + c
quindi deve essere:
4·a - 1 = b + c---> a = (b + c + 1)/4
a = (1 + 1 + 1)/4----> a = 3/4
y=
{3/4·x^2 + x + 1 per -2 ≤ x ≤ 0
{TAN(x) + 1 per 0 < x ≤ pi/4
Valore della funzione agli estremi:
3/4·(-2)^2 + (-2) + 1 = 2----> [-2, 2]
TAN(pi/4) + 1 = 2------> [pi/4, 2]
la derivata della funzione si annulla per:
3·x/2 + 1 = 0----> x = - 2/3
Cioè nel punto:
3/4·(- 2/3)^2 + (- 2/3) + 1 = 2/3---> [- 2/3, 2/3]
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Genius III