Esercizio trigonometria triangolo e trapezio

1° esercizio

COS(α) = 5/13---> SIN(α) = √(1 - (5/13)^2) = 12/13

COS(β) = 12/13---> SIN(α) = √(1 - (5/13)^2) = 5/13

SIN(γ) = SIN(pi - (α + β)) 

SIN(γ) = SIN(α + β)

SIN(α + β) = SIN(α)·COS(β) + SIN(β)·COS(α)

SIN(α + β) = 12/13·(12/13) + 5/13·(5/13)

SIN(α + β) = 1---> SIN(γ) = 1

γ = pi/2---> COS(pi/2) = 0

Quindi il triangolo assegnato è un triangolo rettangolo ed è simile a:

triangolo rettangolo avente area:

Α = 1/2·12·5 = 30 cm^2

Quindi il triangolo assegnato è anche congruente. Pertanto il raggio della circonferenza circoscritta ad esso è pari a: r=13/2=6.5 cm

angolo α = arccos 5/13 = 67,38014°

angolo β = arccos 12/13 = 22,61986°

angolo ϒ = 180-(67,38014+22,61986) = 90,00°

2A = 2*30 = c*C  ⇒ c = 60/C

60 = (c*cos α + C*cos β)*C cos α .... (C sin β = C cos α)

60 = (60/C*5/13+C*12/13)*C*5/13

60 = 60*25/169+C^2*60/169 

(169*60-1500)/169 = C^2*60/169

169 si semplifica

8640 = C^2*60 

cateto maggiore C = √144 = 12 

cateto minore c = 60/c = 60/12 = 5 

ipotenusa i = √c^2+C^2 = √25+144 = 13 cm 

semi-perimetro p = (17+13)/2 = 15 cm 

Per un triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza, il circocentro (cioè il centro del cerchio circoscritto) coincide con il punto medio dell'ipotenusa, che sarà uguale al diametro della circonferenza.

raggio circonferenza circoscritta R = ipotenusa / 2 = 6,50 cm

bonus :  

raggio r del cerchio inscritto = A/p = 30/15 = 2,0 cm 

BC = lo = 30

CD = b = 36 = 

BD = AC = 6√97

AC^2 = (b+p)^2+(lo^2-p^2)

36*97 = (36+p)^2+30^2-p^2

3.492 = 1.296+p^2+72p+900-p^2

3.492-1.296-900 = 72p 

proiezione p = (3.492-1.296-900) / 72 = 18,0 cm

altezza h = 6√5^2-3^2 = 6*4 = 24 cm 

angoli A e B = arctan 4/3 = 53,13°

angoli C e D = 180°-53,13° = 126,87°

perimetro 2p = 2(p+b+lo) = 2*(10+30+36) = 152 cm

area A = (p+b)*h = (18+36)*24 = 1296 cm^2