Spazi affini - iperpiani

Problema:

Nello spazio euclideo $\mathbb{E}^4(\mathbb{R})$, si considerino i sottospazi affini 

$S_1 : \{ x_1-2x_4=0, x_2+2x_3=3\}$

$S_2: \{ x_1-x_2-2x_4=-1, x_3-1=0\}$.

Dopo aver determinato le equazioni parametriche del sottospazio $S:=S_1 \cap S_2$, determinare gli iperpiani di $\mathbb{E}^4(\mathbb{R})$ perpendicolari a $S$ ed aventi distanza $\sqrt{5}$ dal punto $P=(1,1,0,2)$.

Soluzione:

Lo spazio $S$ si ottiene intersecando $S_1$ e $S_2$, quindi inserendo tutte le equazioni che descrivono i sottospazi in un unico sistema.

$S: \{x_1-2x_4=0, x_2+2x_3=3, x_1-x_2-2x_4=-1, x_3-1=0 \}$

Esplicitando le componenti di un vettore a quattro dimensioni si ottiene:

$S: \{x_1=2x_4, x_2=1, x_3=1, x_4=x_4 \}$

Arrivati a questo punto si pone $x_4=t$ e in notazione parametrica/span si ottiene:

$S: (0,1,1,0)+Span \{ (2,0,0,1)\}$. Questa è una retta.

In generale gli iperpiani sono perpendicolari a una retta se il loro vettore normale è parallelo a quello della retta. In questo caso gli iperpiani sono descritti da $T: 2x_1+0x_2+0x_3+1x_4+d=0$, ove $d \in \mathbb{R}$. 

Utilizzando la generalizzazione della relazione per la distanza punto-retta si ottiene:

$d(P,T)=\frac{|2p_1+p_4+d|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|4+d|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$.

L'equazione è soddisfatta per $|4+d|=5$, ossia per $d=1, d=-9$.

Gli iperspazi richiesti sono dunque:

$T_1: 2x_1+x_4+1=0$

$T_2: 2x_1+x_4-9=0$.