[Risolto] Sommatorie e progressione geometrica

Ricevere un "Buonasera" a metà mattinata è un po' sconcertante (come a volte leggere "Buongiorno" all'una di notte): chissà com'è che ai nativi digitali sembra che pubblicare e telefonare siano la stessa cosa!
Il bello di queste bacheche virtuali è proprio quello della bacheca: tu pubblichi quando pare a te, io leggo quando capita a me; non c'è motivo d'attendersi un sincronismo di qualche genere.
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TUTTI I PASSAGGI
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1) Proprietà distributiva della moltiplicazione ("*").
* (1 - q)*(Σ [k = 0, n] q^k) = 1*(Σ [k = 0, n] q^k) - q*(Σ [k = 0, n] q^k)
* q*(Σ [k = 0, n] q^k) = Σ [k = 0, n] q^(k + 1)
quindi
* (1 - q)*(Σ [k = 0, n] q^k) = Σ [k = 0, n] q^k - Σ [k = 0, n] q^(k + 1)
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2) Traslazione di indici
* Σ [k = 0, n] q^(k + 1) = Σ [k = 1, n + 1] q^k
quindi
* (1 - q)*(Σ [k = 0, n] q^k) = Σ [k = 0, n] q^k - Σ [k = 1, n + 1] q^k
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3) Cancellazione dei termini opposti (q^12 - q^12 = 0).
Nella sottrazione fra le due sommatorie
* (Σ [k = 0, n] q^k) - (Σ [k = 1, n + 1] q^k)
compaiono quasi tutti gli stessi termini, tranne
* il primo della prima (q^0) perché la seconda inizia da k = 1
* l'ultimo della seconda (q^(n + 1)) perché la prima termina con k = n
quindi, a parte quei due, il resto è eguale e si cancella
* (Σ [k = 0, n] q^k) = (q^0 + Σ [k = 1, n] q^k)
* (Σ [k = 1, n + 1] q^k) = (Σ [k = 1, n] q^k + q^(n + 1))
con
* S = Σ [k = 1, n] q^k
si scrive
* (Σ [k = 0, n] q^k) - (Σ [k = 1, n + 1] q^k) =
= (q^0 + S) - (S + q^(n + 1)) =
= q^0 - q^(n + 1) =
= 1 - q^(n + 1)
cioè
* (1 - q)*(Σ [k = 0, n] q^k) = 1 - q^(n + 1)
QED