[Risolto] Sistemi letterali

$ \left\{\begin{align} a(a-2)x-2ay &= a \\ (a^2-4)x + (a+2)y &= a-2 \end{align} \right. $

Appare evidente che la prima equazione può essere semplificata eliminando le a, ma semplificare significa dividere per a. Dividere è un'operazione delicata, occorre fare qualche considerazione:

i) Se a = 0  il sistema diventa

$ \left\{\begin{align} 0 &= 0 \\ -4x + 2y &= -2 \end{align} \right. $

Tale sistema ha una sola equazione e due incognite, in altre parole è indeterminato. Le ∞¹ soluzioni sono date dall'ultima equazione y = 2x - 1

ii) Se a ≠ 0 posso semplificare ottenendo

$ \left\{\begin{align} (a-2)x-2y &= 1 \\ (a-2)(a+2)x + (a+2)y &= a-2 \end{align} \right.$

dalla prima ricaviamo $ (a-2)x = 2y + 1 $

sostituiamola nella seconda

(2y + 1)(a + 2) + (a + 2)y = a - 2

(a + 2)(3y + 1) = a - 2

Per ricavare la y dobbiamo dividere per (a + 2); dividere! allora due casi:

1. Se a = - 2 allora si ha 0(3y+1) = - 4 Impossibile. Il sistema è impossibile.
2. Se a ≠ - 2 allora $ y = -\frac{4}{3(a+2)}$

dalla prima equazione del punto ii)

$ (a-2)x+\frac{8}{3(a+2)} = 1 $

ricaviamo

$ x =  \frac{3a-2}{3(a^2-4)} $

Conclusioni.

1. Se a = 0 il sistema è possibile ma indeterminato
2. Se a = -2 il sistema è impossibile
3. Se a ≠ 0 ∧ a ≠ -2 allora il sistema è possibile  e determinato.