Quesito Vettori

Risposta alla domanda 1 in figura:

1. La definizione matematica di un vettore di i dimensioni v(x₁, x₂, x₃ ... xᵢ) non è altro che un insieme di n numeri. Definizione che rende banale la somma/differenza tra vettori.

2. I fisici abituati a lavorare in ℝ³ rappresentano il vettore con freccette. Già la somma diventa ambigua visto che si deve trasportare un vettore sulla punta dell'altro, o come dici "vederle come "istruzioni di movimento" indipendenti dal punto di partenza"; per non parlare di un vettore a dimensione superiore a 3.

3. In geometria, quando si studiano le curve, è importante conoscere, per ogni punto della curva, la direzione della tangente e la direzione della normale (ovvero la perpendicolare alla tangente). il vettore normale (ortogonale alla tangente) è il vettore il cui prodotto scalare è nullo. Non si deve disegnare nulla per arrivare alla giusta risposta. 
Vediamo di generalizzare il concetto, considerando lo spazio delle funzioni definite in [-π, π]. Definiamo lo spazio vettoriale come la naturale generalizzazione, invece della somma userai l'integrale. A questo punto puoi facilmente dimostrare che le funzioni seno e coseno sono perpendicolari tra loro, infatti

$ <sinx, cosx> := \int_{-\pi}^{\pi} sinx \, cosx \, dx = 0 $

Possiamo così considerarli come versori di un sistema di coordinate ortogonali. 

PRIMA PARTE – RISPOSTA AL QUESITO INIZIALE

Le componenti sono istruzioni di movimento.
Il vantaggio enorme del vettore è l'invarianza per traslazione.

Le coordinate dei punti (A, B, C...) dipendono da dove hai deciso di piazzare l'origine degli assi (lo "zero"). Se sposti l'origine, tutte le coordinate cambiano.
Il vettore, invece, descrive la relazione tra i punti. La "freccia" che unisce A e B rimane la stessa ovunque tu metta il sistema di riferimento.

In fisica e geometria 3D, ci interessa come gli oggetti sono fatti e come interagiscono tra loro, non dove si trovano rispetto a un luogo scelto come origine. Il vettore libero cattura l'essenza della direzione e della distanza, permettendoti di confrontare rette e piani in modo universale.

Il Prodotto Scalare: perché quel calcolo?

Il prodotto scalare tra due vettori u[x(1), y(1), z(1)] e v[x(2), y(2), z(2) è definito come: u.v = x(1).x(2) + y(1).y(2) + z(1).z(2)

Geometricamente, il prodotto scalare misura quanto un vettore "va nella stessa direzione" dell'altro. La formula con le componenti deriva direttamente dal dal Teorema del Coseno combinato con il Teorema di Pitagora in 3D. In 3D, il teorema del coseno lega i moduli, ma per passare dai moduli alle componenti (x,y,z) serve Pitagora..

Il legame con la perpendicolarità:
Due direzioni sono perpendicolari (90°) quando il loro prodotto scalare è zero.
Logicamente: se il prodotto scalare misura quanta componente di un vettore si proietta nella direzione dell'altro, se i vettori sono perpendicolari, la proiezione è nulla. Uno si muove in una direzione che l'altro ignora completamente.

Calcolarlo con le componenti è un trucco algebrico utilissimo: ti permette di sapere se due travi di una struttura sono a 90° usando solo tre moltiplicazioni e due somme, senza mai dover usare un goniometro o visualizzare lo spazio.
In pratica, invece di guardare l'angolo (geometria), guardiamo la memoria del movimento: se due spostamenti non condividono nessuna delle loro 'istruzioni' (X, Y, Z), sono perpendicolari

SECONDA PARTE – APPROFONDIMENTO: PUNTO VS VETTORE

Nota:  Aggiungo qui un chiarimento logico sulla natura delle componenti per evitare un comune fraintendimento

Attenzione a non confondere il concetto di Punto con quello di Vettore.
Nella geometria analitica e nella fisica le componenti di un vettore sono assolutamente indipendenti dal punto di partenza.

La logica dei vettori: Posizione vs Spostamento
Per chiarire il dubbio, è fondamentale fare una distinzione netta tra due concetti che spesso vengono confusi:

Il Punto (Posizione): Rappresenta un luogo fisso nello spazio. Per definirlo, è indispensabile un’origine (lo zero) di riferimento. Ad esempio, il punto A(1, 2, 3).
Il Vettore (Spostamento): Rappresenta l’istruzione del movimento. Se un vettore v ha componenti (3, 3, 1), l’istruzione è: "Spostati di 3 unità lungo l’asse x, 3 lungo l’asse y e 1 lungo l’asse z".

Conoscere il punto di partenza è necessario solo se vuoi individuare il punto finale del tragitto. Se però l’obiettivo è descrivere il movimento in sé (il vettore), il punto di partenza è irrilevante.
Un esempio pratico:
Caso A: Parti da casa e fai 2 passi a Nord.
Caso B: Parti da scuola e fai 2 passi a Nord.
In questi due scenari:
Il punto di partenza è diverso.
Il punto di arrivo è diverso.
Il movimento (il vettore) è lo stesso.
In entrambi i casi, il vettore è v = (0, 2, 0).

Il vettore non “sa” da dove sei partito, descrive solo una variazione. In matematica, questa proprietà si chiama invarianza per traslazione.

L’esempio del parallelogramma ABCD:
Per dimostrare che ABCD è un parallelogramma, verifichi che vettore AB = vettoreDC.
Questi due vettori partono da punti diversi (A e D), ma hanno le stesse componenti. Se le componenti dipendessero dal punto di partenza,
il vettoreAB e il vettore DC non potrebbero mai essere considerati “lo stesso vettore”, rendendo impossibile l’uso dei vettori per definire il parallelismo.
In sintesi:
Le componenti del vettore sono misure relative (variazioni), non misure assolute (posizioni). Sono “istruzioni di movimento” che puoi applicare a qualsiasi punto nello spazio per ottenere uno spostamento identico.

Le risposte già date dagli altri utenti sono adeguate, aggiungo un paio di cose.

Matematicamente parlando un vettore è un oggetto di uno spazio vettoriale, ciò che si utilizza di consuetudine è la rappresentazione di un vettore in un certo sistema di coordinate ben definito. Le coordinate possono essere spaziali o concettuali, un classico esempio di vettore "concettuale" è quello dei colori nello standard RGB, ad esempio per rappresentare il colore blu si usa la terna ordinata $(R, G, B)=(0,0,1)$, ove l'$1$ indica $100$% colore blu. (I LLM delle AI usano qualcosa di simile per gestire il linguaggio)

La differenza principale tra punti e vettori è che quest'ultimi presentano una lunghezza (spesso detta norma), infatti non ha senso parlare di "lunghezza di un punto". Ad ogni modo la lunghezza non viene dal nulla: alle superiori di solito si lavora nello spazio euclideo, questo spazio è reale e dotato di un prodotto scalare (ne esistono di più tipi in matematica), tale prodotto scalare induce il concetto di lunghezza e quest'ultima induce il concetto di distanza. 

Se vuoi approfondire ciò ti consiglio di vedere i seguenti argomenti: forme bilineari simmetriche, spazi metrici, spazi normati (spazi di Banach) e spazi di Hilbert. Le nozioni sulla completezza al momento credo siano un po' precoci, ma se ti interessano non fa male studiarle. 

Un'altra utilità dei vettori è che quest'ultimi hanno una direzione e dunque tramite questi puoi generare piani e rette (Geometria vettoriale di Grassmann). 

Ad esempio, preso il vettore $(1,1)$, per generare la retta con tale direzione basta moltiplicare il vettore per un parametro scalare $t(1,1)=(t,t)=Span \{ (1,1) \}$. Alle superiori ciò viene misticamente chiamato "forma parametrica".

Consiglio di supportare lo studio con questi argomenti accessibili anche a studenti delle superiori: spazi vettoriali (anche quello delle matrici e dei polinomi), basi e generatori, coordinate, cambiamento di base e coordinate ( https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Change_of_basis&wprov=rarw1) e se riesci la rappresentazione degli endomorfismi tramite le matrici. In questo modo svilupperesti una buona intuizione per affrontare algebra lineare.