Salve a tutti.
Ho difficoltà a trovare un approccio per risolvere il seguente quesito
Transcript:
Detta A(n) l'area del poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio C di raggio r, verificare
che A(n) = n/2 r^2 sin 2pi/n e calcolarne il limite per n -› infinito.
Come si potrebbe risolvere? Grazie per l'aiuto
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Livello 1
Il pentagono regolare inscritto nel cerchio serve solo per fissare le idee.
In generale l’angolo al vertice di ciascuno dei triangoli isosceli che si formano congiungendo il centro con ogni vertice del poligono è dato da: α = 2pi/n
L’altezza h di ogni triangolo isoscele vale: h = r·COS(α/2)------> h = r·COS(pi/n)
La base vale: b = 2·r·SIN(pi/n)
L’area vale A (n) = r^2·SIN(pi/n)·COS(pi/n)
Quindi: A (n)= 1/2r^2 SIN(2pi/n)
L’area del poligono vale A=n*A(n)= n/2r^2 SIN(2pi/n)
Il limite per n--->+inf
è pari a:
LIM(n/2·r^2·SIN(2·pi/n)) =pi·r^2
n--->+ ∞
Si deduce dal limite notevole:
LIM(SIN(α)/α) = 1
α----> 0
ponendo α =2·pi/n
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Genius III
Detta A(n) l'area del poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio C di raggio R, verificare
che A(n) = n/2 r^2 sin 2pi/n e calcolarne il limite per n -› infinito.
area A(n) = perimetro *apotema /2
lato L = 2*(R*sin (2π/2n) = 2*R*sin (π/n)
perimetro 2p = n*L = n*2*R*sin (π/n)
apotema a = R*cos (2π/2n) = R*cos (π/n)
area A = (n*2*R*sin (π/n)*R*cos (π/n))/2
area A = (n*R^2*2*sin (π/n)*cos (π/n))/2
...ricordando che 2*sin α * cos α = sin 2α, si ha :
area A = (n*R^2*sin (2π/n))/2 = k*R^2
il limite per n → ∞ di K è
è l'area della circonferenza C pari a π*R^2
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Genius III
👍 👍 👍
@remanzini_rinaldo Il metodo di esaustione è un procedimento utile a calcolare aree di varie figure geometriche piane. Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data. L'area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni
L'area del cerchio è determinata costruendo una successione di poligoni che assomigliano sempre di più al cerchio. Ad esempio, una successione di poligoni regolari con numero crescente di lati: in figura, un pentagono, un esagono e un ottagono. A seconda che si scelgano poligoni inscritti o circoscritti nella circonferenza, la sua area risulterà essere approssimata inferiormente o superiormente. Entrambe le scelte portano comunque al limite dell'area del cerchio
