Sia $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tale che $f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))$, ove $a,b \in \mathbb{Z}$. Determinare tutte le funzioni che soddisfano tale condizione.
Sia $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tale che $f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))$, ove $a,b \in \mathbb{Z}$. Determinare tutte le funzioni che soddisfano tale condizione.
6218
punti
Livello 6
Suggerimento: $f$ è lineare.
y=f(x)------> poniamo y = m·x
f(2·a)-------> 2·a·m
f(b)---------> mb
2*f(b)------> 2mb
-------------------------
f(a+b)-----> m·(a + b)
f(f(a+b))-----> m·(m·(a + b)) =m^2·(a + b)
Quindi deve essere:
2·a·m + 2·m·b = m^2·(a + b)
posto a + b ≠ 0:
2·m = m^2---->m = 2 ∨ m = 0
Quindi le funzioni:
y=2x ed y=0
soddisfano
115471
punti
Genius III
Le equazioni funzionali si risolvono quasi sempre per tentativi.
Questa non é particolarmente difficile, almeno trovare una soluzione.
Non scrivo nulla per non togliere il piacere ad altri, non essendo quello che so
frutto di elaborazione autonoma.
58339
punti
Livello 7