Determinare tutti gli interi positivi $n$ per i quali esistono interi positivi $a,b, c$ che soddisfano
$2a^n+3b^n=4c^n$
Determinare tutti gli interi positivi $n$ per i quali esistono interi positivi $a,b, c$ che soddisfano
$2a^n+3b^n=4c^n$
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Livello 6
Procediamo a tentativi:
n=1
2a+3b=4c-----> a= (4c-3b)/2
con c=4; b=2 si ottiene:
a=(4·4 - 3·2)/2 = 5
con c=2; b=2 si ottiene:
a = (4·2 - 3·2)/2 = 1
Quindi con n=1 dovrebbe essere soddisfatta per infiniti valori interi positivi di a, b, c
n=2
Se risulta soddisfatta l'equazione:
2·a^2 + 3·b^2 = 4·c^2
Dovrebbe essere soddisfatto, a mio avviso anche il sistema:
{2·a^2 + 2·b^2 = 2·c^2
{b^2 = 2·c^2
(la somma membro a membro riporta alla equazione di partenza)
La prima è soddisfatta in quanto infinite sono le terne pitagoriche che la soddisfano. La seconda è impossibile tenendo presente che i termini a, b , c devono essere tali per cui risulta a<b<c.
Quindi a mio avviso non ci sono soluzioni per n ≥ 2
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Genius III
@lucianop la soluzione è qui: https://kskedlaya.org/putnam-archive/
Il testo viene dalla prova Putnam 2024.
Ho modificato il mio post precedente: prova a darci un'occhiata.