Quesito anti-noia #11: sistemi

Per la relatività Galileiana è come se la lepre, avente velocità assoluta V, fosse ferma ed il cane la rincorresse alla velocita relativa Vr = (m-n)V

detto k il rapporto metri/passo, abbiamo che la distanza d (m) vale p (passi) * k (m/passo) ed il tempo t è pari al rapporto d (m) / Vr, pertanto :

t = p*k/(m-n)*V

Distanza iniziale (a): Il cane inizia l'inseguimento a una distanza di a passi dalla lepre.

Rapporto di velocità (m/n): La velocità del cane (v cane) è m/n volte la velocità della lepre (v lepre).

Si deve trovare il numero di passi (x) che il cane deve fare per raggiungere la lepre.

Definizione delle velocità:

Sia vlepre = v.

Allora
v cane =(m/n)⋅v.

Tempo impiegato per raggiungere la lepre:

La distanza iniziale è a passi.

La velocità relativa del cane rispetto alla lepre è vcane−vlepre = (m/n)v-v= (m/n−1)v.

Il tempo (t) necessario per coprire la distanza a con questa velocità relativa è:

t=a/[(m/n -1)v]=a⋅n/[(m−n)v]

Il numero di passi è dato dal prodotto della velocità del cane per il tempo:
x=vcane⋅t=(m/n)v⋅[an/(m-n)v]=m⋅a/(m-n)

Chiamo:

m=velocità del cane (supponiamo in m/s)

n=velocità della lepre (supponiamo in m/s)

Assumo un passo del cane: pari ad 1m

(tanto per fissare le idee)

Quindi il rapporto m/n>1. Quindi scrivo il sistema:

{a + x = m·t

{x = n·t

lo risolvo ed ottengo: [x = a·n/(m - n) ∧ t = a/(m - n)]

Quindi la lepre percorrerà x passi del cane nel tempo segnato in grassetto, mentre il cane percorrerà un numero di passi:

a + x = a + a·n/(m - n)----> a + x = a·m/(m - n)

Il tempo t è lo stesso sia per il cane che per la lepre.