Punti stazionari

Problema:

Trova i punti di massimo e di minimo relativo e di flesso orizzontale della seguente funzione. 

$y=1+2 \cos 2x + 4 \sin x$ in $[0,2π)$.

Soluzione:

Per risolvere il quesito è necessario individuare analiticamente la derivata della funzione dato che le informazioni richieste sono in essa.

$y'=-4\sin 2x +4 \cos x$ 

Si studia quindi il segno, così facendo si capisce l'andamento della funzione originale.

$y'≥0 \iff -8\sin x \cos x +4 \cos x ≥0 \iff -2\sin x \cos x +\cos x ≥0 \iff \cos x (1-2 \sin x)≥0$

Tramite la tabella dei segni si ottiene, indicando con il blu la parte negativa e con il rosso la parte positiva, il seguente schema:

Dato che la funzione prima di $\frac{π}{6}=x$ cresce e poi decresce, esso è un punto di massimo relativo.

Per considerazioni analoghe si ha che anche $\frac{5π}{6}=x$ è un punto di massimo relativo.

Inoltre, dato che vi è prima una decrescenza e poi una crescenza della funzione intorno agli altri punti stazionari, si ha che $x=\frac{π}{2}$ e $x=\frac{3π}{2}$ rappresentano punti di minimo relativo. 

Non vi sono flessi orizzontali dato che non vi è monotonia intorno ad alcuni punti stazionari.