Punti singolari di funzioni trascendenti

Punti di discontinuità

• Il numeratore è definito per $ x \ne \frac{\pi}{2}+k\pi; \quad k\in\mathbb{Z} $
• Il denominatore è definito per:
  • • $2x \ne \frac{\pi}{2}+2k\pi \; ⇒ \; x \ne \frac{\pi}{4}+k\pi  $
    • $2x \ne -\frac{\pi}{2}+2k\pi \; ⇒ \; x \ne -\frac{\pi}{4}+k\pi  $

Questi sono i punti di discontinuità (singolari) della funzione data.

Tipo di discontinuità.

1. $ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} f(x) = -\infty $   Questo è sufficiente per affermare che è di 2° tipo.
2. $ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^-} f(x) = +\infty $   Questo è sufficiente per affermare che è di 2° tipo.
3. $ \displaystyle\lim_{x \to (-\frac{\pi}{4})} f(x) = $

$ = \displaystyle\lim_{x \to (-\frac{\pi}{4})} \frac{sinx+cosx}{cosx(cos(2x))} = $

$ = \displaystyle\lim_{x \to (-\frac{\pi}{4})} \frac{sinx+cosx}{cosx(cos^2x-sin^2x)} = $

$ = \displaystyle\lim_{x \to (-\frac{\pi}{4})} \frac{1}{cosx(cosx-sinx)} =  1$

Essento il limite bilaterale eguale e finito allora la discontinuità è di 3° tipo ovvero eliminabile. 

y = (TAN(x) + 1)/COS(2·x)

riscriviamo in forma equivalente:

y = (SIN(x)/COS(x) + 1)/(COS(x)^2 - SIN(x)^2)

y = (COS(x) + SIN(x))/(COS(x)·(2·COS(x)^2 - 1))

Determiniamo il C.E.:

COS(x)·(2·COS(x)^2 - 1) ≠ 0

quindi deve essere:

COS(x) ≠ 0----> x ≠ pi/2 + k·pi   con k intero

2·COS(x)^2 - 1 ≠ 0------> COS(x) ≠ - √2/2 ∧ COS(x) ≠ √2/2

quindi:

x ≠ 3/4·pi + k·pi ∧ x ≠ pi/4 + k·pi  con k intero

La funzione data è quindi definita da tutto R eccezion fatta per i punti definiti in grassetto.

Quindi poniamo k =0 (valore arbitrario ma opportuno) e calcoliamo i limiti:

LIM((TAN(x) + 1)/COS(2·x)) = -∞

x---> pi/2-

LIM((TAN(x) + 1)/COS(2·x)) = ∞

x---> pi/2+

Quindi:

x = pi/2 + k·pi sono di discontinuità di 2^ specie

LIM((TAN(x) + 1)/COS(2·x)) =1

x---> (3/4·pi)-

LIM((TAN(x) + 1)/COS(2·x)) =1

x---> (3/4·pi)+

x = 3/4·pi + k·pi sono di discontinuità di 3^ specie

LIM((TAN(x) + 1)/COS(2·x)) = +∞

x---> (pi/4)-

LIM((TAN(x) + 1)/COS(2·x)) =-∞

x---> (pi/4)+

x = pi/4 + k·pi sono di discontinuità di 2^ specie