[Risolto] Problemi Geometria

Trovi la risposta nel file allegato.

1) In un triangolo $A B C$, isoscele sulla base $A B$, traccia l'altezza $C H$. Considera un qualsiasi punto $P$ su $C H$ e dimostra che $P A$ è congruente a $P B$.

Dopo aver realizzato il disegno secondo le indicazioni del testo, prolungo $\boldsymbol{A P}$ fino ad incontrare il lato $\boldsymbol{B C}$ in $\boldsymbol{E}$ e prolungo $\boldsymbol{B P}$ fino ad incontrare il lato $\boldsymbol{A C}$ in $\boldsymbol{F}$.

Essendo per ipotesi $\boldsymbol{A B C}$ un triangolo isoscele su base $\boldsymbol{A B}$ avrà i lati obliqui $\boldsymbol{A C}=\boldsymbol{B C} \mathrm{e}$ gli angoli alla base $A \widehat{B} C=B \widehat{A} C$.

Essendo per ipotesi $\boldsymbol{C H}=$ altezza del triangolo isoscele ( $\mathrm{ma}$ in un triangolo isoscele è anche mediana e bisettrice) essa dividerà l'angolo $\widehat{C}$ in due parti uguali $\boldsymbol{A} \widehat{C} \boldsymbol{H}=\boldsymbol{B} \widehat{C} \boldsymbol{H}$.
Consideriamo ora i due triangoli $A C P$ e $B C P$ che risultano essere congruenti per il $1^{\circ}$ criterio di congruenza dei triangoli in quanto hanno $A C \cong B C$ per ipotesi (sono lati obliqui del triangolo isoscele $\boldsymbol{A B C}$ ); il lato $\boldsymbol{C P}$ è in comune e gli angoli $\boldsymbol{A} \widehat{\boldsymbol{C}} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B} \widehat{\boldsymbol{C}} \boldsymbol{P}$ per ipotesi (angolo in $\widehat{C}$ diviso in due angoli uguali dalla bisettrice $\boldsymbol{C H}$ ) quindi avranno uguali tutti gli altri elementi, in particolare i lati $\boldsymbol{A P} \cong \mathrm{BP}$ e pertanto il triangolo $\boldsymbol{A P B}$ risulta essere isoscele su base $\mathrm{AB}$.
C.V.D.

2) Pù̀ esistere un triangolo i cui lati sono lunghi $10 \mathrm{~cm}, 12 \mathrm{~cm}$ e $15 \mathrm{~cm}$ ? E un triangolo i cui lati sono lunghi $7 \mathrm{~cm}, 11 \mathrm{~cm}$ e $3 \mathrm{~cm}$ ? Giustifica le tue risposte.

Allora sapendo dalla teoria che in ogni triangolo la somma di due lati deve essere SEMPRE maggiore del terzo lato possiamo dire che può esistere un triangolo i cui lati sono lunghi $10 \mathrm{~cm}, 12 \mathrm{~cm}$ e $15 \mathrm{~cm}$ infatti:
$$
\begin{aligned}
& 10+12=22>15 \text { OK } \\
& 10+15=25>12 \text { OK } \\
& 12+15=27>10 \text { OK }
\end{aligned}
$$
Mentre non può esistere un triangolo i cui lati sono lunghi $7 \mathrm{~cm}, 11 \mathrm{~cm}$ e $3 \mathrm{~cm}$ infatti:
$$
\begin{aligned}
& 7+11=18>3 \text { OK } \\
& 7+3=10<11 \text { NON VA BENE!!!! } \\
& 11+3=14>7 \text { OK }
\end{aligned}
$$

3) Quale fra i tre lati del triangolo ABC ha lunghezza massima?

$$
A \widehat{B} C=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}
$$
Siccome ad angolo maggiore si oppone lato maggiore avremo che il lato di lunghezza massima del triangolo $\mathrm{ABC}$ è $\mathrm{AC}$ che si oppone all'angolo di $65^{\circ}$.

1)

In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, traccia l'altezza CH. Considera un qualsiasi punto P su CH e dimostra che PA è congruente a PB.

l'altezza CH forma con la base AB due angoli retti (CHA e CHB) ed inoltre divide AB in che tratti tra loro congruenti (AH = BH), pertanto :

# i due triangolo AHP e BHP sono uguali per avere PH in comune, AH = BH e l'angolo compreso di 90°

# AP e BP sono, quindi, congruenti

2)

2.1

Può esistere un triangolo i cui lati sono lunghi a = 10 cm, b = 12 cm e c = 15 cm?

certamente, essendo c < (a+b) 

2.2

Ed un triangolo i cui lati sono lunghi d = 7 cm, e = 11 cm ed f = 3 cm?

no, essendo e >(d+f)

3)

Quale fra i tre lati del triangolo ABC ha lunghezza massima?

angolo ABC = 180-115 = 65°

Il teorema dei seni dice che :

sin 55°/AB = sin 60°/BC = sin 65°/AC 

...ne consegue che tanto maggiore è l'angolo, tanto maggiore è il lato opposto ad esso, pertanto il lato maggiore è quello opposto all'angolo maggiore(65°), vale a dire AC