[Risolto] Problema sulla circonferenza

Il raggio vettore è perpendicolare alla retta tangente la conica nel punto di tangenza. Il centro della circonferenza appartiene alla retta di coefficiente angolare m =2 (antireciproco rispetto alla retta tangente), passante per il punto (3;0)

L'equazione è y=2x - 6

Quindi: C=(k;2k-6)

Imponendo la condizione che C sia equidistante dai due punti A, B si ricava:

(k-3)²+(2k-6)²=k²+(2k-7)²

k= - 2

Quindi il centro ha coordinate C(-2; - 10) e il raggio è la distanza 

CA=CB= radice (125) = 5*radice (5)

L'equazione della conica è:

(x+2)²+(y+10)²=125

RIPASSI
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1) Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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2) Tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da due dati punti A(a, p) e B(b, q) giacciono sull'asse del segmento AB
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
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RISOLUZIONE
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A) La condizione di passare per A(0, 1) e per B(3, 0) impone i vincoli
* (0 - a)^2 + (1 - b)^2 = q
* (3 - a)^2 + (0 - b)^2 = q
il cui sistema
* ((0 - a)^2 + (1 - b)^2 = q) & ((3 - a)^2 + (0 - b)^2 = q) ≡
≡ (b = 3*a - 4) & (q = 10*((a - 3/2)^2 + 1/4))
dà
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - (3*a - 4))^2 = 10*((a - 3/2)^2 + 1/4)
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B) Il centro C deve cadere, per definizione, sull'asse della corda AB
* asse(AB) ≡ y = 3*x - 4
ma anche, per la condizione di tangenza, sulla perpendicolare p per B(3, 0) alla retta
* t ≡ x + 2*y - 3 = 0 ≡ y = (3 - x)/2
di pendenza m = - 1/2.
Dovendo p avere pendenza m' = - 1/m = + 2 e passare per B essa risulta
* p ≡ y = 2*x - 6
quindi C è l'intersezione
* (y = 3*x - 4) & (y = 2*x - 6) ≡ C(- 2, - 10)
da cui
* Γ ≡ (x + 2)^2 + (y + 10)^2 = 125 ≡
≡ x^2 + y^2 + 4*x + 20*y - 21 = 0
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C) http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x--2%29%5E2%3D125-%28y--10%29%5E2%2C%28%283-x%29%2F2-y%29*%281-x%2F3-y%29%3D0%5D