Problema geometria

$\ell=2cm$

$P(\ell)=4\ell= 4 \cdot 2cm =8cm$

$A(\ell)=\ell^2 = 4cm \cdot 4 cm = 16 cm^2$

Se raddoppio il lato $\ell$:

$P(2\ell)= 4 \cdot 2 \ell = 4 \ell \cdot 2 = P(\ell) \cdot 2=16cm$ per la proprietà commutativa e dissociativa della moltiplicazione 

$A(2\ell)=(2\ell)^2=\ell^2 \cdot 4 = A(\ell) \cdot 4 = 64cm^2$.

$P(3\ell)= P(\ell) \cdot 3 = 24cm$ 

$A(3\ell) = (3\ell)^2 = A(\ell) \cdot 9 =144cm^2$.

In generale, se aggiungo un coefficiente $k$ a $\ell$, ottengo:

$P(k\ell)=k \cdot P(\ell)$

$A(k\ell)=A(\ell) \cdot k^2$

Questo è anche il motivo per cui nelle equivalenze, quando passi da $m^2$ a $dm^2$ dividi per $100$ e non per $10$, perché $1m^2=1m \cdot 1m = 10dm \cdot 10dm =100dm^2$, quindi $1m^2 =100dm^2$.

Perimetro e Area del primo quadrato di lato L1 = 2 cm:

P1 = 4 * 2 = 8 cm;

A1 = 2^2 = 4 cm^2;

raddoppiamo il lato: L2 = 2 L1 = 4 cm;

P2 = 4 * 4 = 16 cm; il perimetro raddoppia;

A2 = 4^2 = 16 cm^2, l'area quadruplica; A2 = 4 A1;

triplichiamo il lato; L3 = 6 cm

il perimetro triplica;

P3 = 4 * 6 = 24 cm; P3 = 3 P1;

A3 = 6^2 = 36 cm^2; l'area diventa 9 volte maggiore, 9 * A1 = 36 cm^2;

il perimetro è direttamente proporzionale al lato:

P = 4 * L;  P / L = 4; costante

L'area invece è proporzionale al quadrato del lato:

Ak = (k L)^2;

Ak = k^2 * L^2;

L1 = 2;

L2 = 2 * L1;

A2 = (2 * 2)^2 = 4 * 4 = 16 cm^2;

A3 = (3 * 2)^2 = 9 * 4 = 36 cm^3...

Ciao  @lucio-8

Il lato di un quadrato misura 2 cm. Trova perimetro e area. Se raddoppio il lato, come risulta il perimetro? E l'area? Se lo triplico, lo quadruplico è così via, come diventa? E l'area? 

===============================================================

$\small \begin{matrix}
l× & lato (l) & perimetro(2p) & area (A)\\\hline
×1 & 2\,cm & 2·4=8\,cm & 2^2=4\,cm^2 \\
×2 & 2·2=4\,cm & 4·4=16\,cm & 4^2=16\,cm^2 \\
×3 & 2·3=6\,cm & 6·4=24\,cm & 6^2=36\,cm^2 \\
×4 & 2·4=8\,cm & 8·4=32\,cm & 8^2=64\,cm^2
\end{matrix}$