Problema di Cauchy

$ y$"$(x) +2y'+y = 2x^2 $

a. Omogenea associata

• Equazione omogenea associata. $ y$"$(x) +2y'+y = 0 $
• Polinomio caratteristico. $ λ^2+2λ+1 = (λ+1)^2 $
• Radici polinomio caratteristico. λ = -1 con molteplicità 2
• Soluzione dell'omogenea associata. $ y(x) = c_1 e^{-x} + c_2 x \cdot e^{-x} = (c_1+c_2 x) e^{-x} $ 

b. Soluzione particolare

• La cerchiamo nella forma del tipo Ax^2+Bx+C
  • $ \bar{y}(x) = Ax^2+Bx+C $
  • $ \bar{y}' (x) = 2Ax+B$
  • $ \bar{y}$"$ (x) = 2A$
• Introduciamole nell'equazione differenziale

$ 2A + 2(2Ax+B) + Ax^2+Bx+C = 2x^2 $

dalla quale ricaviamo, per il principio di identità dei polinomi,

1. A = 2   (termine in x²) 
2. 4A+B = 0  ⇒  B = - 8  (termini in x)
3. 2A+2B+C = 0  ⇒  C = 12

Una soluzione particolare è quindi $ \bar{y} (x) = 2x^2 -8x + 12$

c. Soluzione generale ODE 

$ y(x) = (c_1+c_2 x) e^{-x} + 2x^2 -8x + 12$ 

La sua derivata prima risulta essere

$ y'(x) = 4x - 8 - (c_2 x +c_1-c_2) e^{-x} $

d. Soluzione problema di Cauchy.

• $y(0) = 12  ⇒  c_1 +12 = 12  ⇒ c_1 = 0 $
• $y'(0) = 0  ⇒ -8 + c_2 = 0  ⇒  c_2 = 8 $  

per cui la soluzione del problema di Cauchy è

$ y(x) = 8xe^{-x} +2x^2-8x+12 $