Primitiva di una funzione

e^6x = e^4x * e^2x;

e^4x - e^6x = e^4x (1 - e^2x)

f(x) = [ e^4x * (1 - e^2x)]^(1/2);

f(x) = (e^4x)^1/2 * (1 - e^2x)^(1/2);

f(x) = e^2x * (1 - e^2x)^(1/2);

La primitiva di f(x) è l'integrale:

F(x) =  ∫f(x) dx;

bisogna fare una sostituzione di variabile: t = 1 - e^2x,

dt = - 2 e^2x dx,

e^2x dx = - dt/2 ;

F(t) =  ∫ t^(1/2) * (- dt/2) = - 1/2  ∫t^(1/2) dt;

F(t) = - 1/2 * t^(1/2 + 1) / (1/2 + 1) + C;

F(t) = - 1/2 * 2/3 * t^(3/2) + C = - 1/3 * radicequadrata(t^3) + c

t = 1 - e^2x;

F(x) = - 1/3 * radicequadrata[(1 - e^2x^3)] + C;

F(0) = 0;

- 1/3 * radice(1 - 1) + C = 0;     0 + C = 0;

 C = 0;

F(x) = - 1/3 * radicequadrata[(1 - e^2x^3)]; primitiva.

Per x che tende a - ∞, F(x) tende a:

- 1/3 * radice(1 - 0) = - 1/3 * 1; 

F(x) tende a - 1/3.

Ciao @alby

$ f(x) = \sqrt{e^{4x} - e^{6x}} = \sqrt{e^{4x}(1 - e^{2x}) } = e^{2x} \sqrt {1-e^{2x}} $

a. 

Per conoscere le primitive occorre integrare la funzione f(x). 

$ F(x) = \int f(x) \, dx $

e lo faremo con la sostituzione. Poniamo $ t = 1-e^{2x} \; ⇒ \; -\frac{dt}{2} = e^{2x} \, dx $

$ F(t) = -\frac{1}{2} \int t^{\frac{1}{2}} \, dt $

$ F(t) = -\frac{1}{3} t^{\frac{3}{2}} + c  $

Ritornando alla variabile originaria

$ F(x) = -\frac{1}{3} (1-e^{2x})^{\frac{3}{2}} + c  $

$ F(x) = -\frac{1}{3} \sqrt{(1-e^{2x})^3}  + c  $

Applichiamo la condizione F(0) = 0 per avere la primitiva richiesta

$ F(0) = 0 \; ⇒ \;  -\frac{1}{3} \cdot 0  + c = 0 \; ⇒ \; c = 0 $

La primitiva richiesta è quindi

$ \bar{F}(x) = -\frac{1}{3} \sqrt{(1-e^{2x})^3}$

b.

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \bar{F}(x) =$
$ =\displaystyle\lim_{x \to -\infty} -\frac{1}{3} \sqrt{(1-e^{2x})^3} =$

$ = -\frac{1}{3} $