[Risolto] Parallelepipedo area totale diagonale

Chiamo x lo spigolo della base quadrata del parallelepipedo, per cui x^2 è l'area di base.

Vado a determinare per quale parallelepipedo avente altezza y con base quadrata x è minima l'area totale A essendo il volume v costante:

{v = x^2·y

{Α = 2·x^2 + 4·x·y

Dalla prima:

y = v/x^2

per cui: Α = 2·x^2 + 4·x·(v/x^2)----> Α = 2·x^2 + 4·v/x

Impongo le condizioni necessarie:

A'=dA/dx=0------> 4·x - 4·v/x^2 = 0

quindi: 4·(x^3 - v)/x^2 = 0----> x = v^(1/3) è l'unica radice reale

L'altezza è: y = v/(v^(1/3))^2-----> y = v^(1/3)

Essendo: x = y ho un cubo:

" fra tutti i parallelepipedi a base quadrata e di volume costante v, quello che minimizza l'area totale è il cubo"

Verifico che sia in effetti il minimo con la derivata seconda:

A''=8·v/x^3 + 4

essendo v>0 ed x>0 ----> A''>0 quindi ho un minimo.

Procedo analogamente con la diagonale:

{v = x^2·y

{d = √((√2·x)^2 + y^2)

(y = v/x^2)

d = √((√2·x)^2 + (v/x^2)^2)----> d = √(2·x^6 + v^2)/x^2

d'=0----> 2·(x^6 - v^2)/(x^3·√(2·x^6 + v^2)) = 0

quindi: 

x = v^(1/3)

Quindi abbiamo ancora un cubo:

" fra tutti i parallelepipedi aventi area minima di dato volume v, quello avente diagonale minima è ancora il cubo"

Il generico parallelepipedo a base quadrata di spigoli {b, b, h} e volume V = h*b^2 costante (ogni simbolo ha misura positiva), ha sia l'area totale "a" che la diagonale "d" funzioni di (b, h)
Con q = d^2 ed h = V/b^2 si ha
* a(b, h) = 2*b^2 + 4*b*h ≡ a(b) = 2*(b^2 + 2*V/b)
* q(b, h) = 2*b^2 + h^2 ≡ q(b) = V^2/b^4 + 2*b^2
che, per il cubo, diventano la medesima funzione.
Se i loro valori minimi esistono, nel primo quadrante del piano Obh, si calcolano applicando la condizione
* (f' = 0) & (f'' > 0) & (b > 0) & (V > 0)
-----------------------------
* a(b) = 2*(b^2 + 2*V/b)
* a'(b) = 4*(b - V/b^2)
* a''(b) = 4*(2*V/b^3 + 1)
* (4*(b - V/b^2) = 0) & (4*(2*V/b^3 + 1) > 0) & (b > 0) & (V > 0) ≡
≡ b^3 = V (cubo)
-----------------------------
* q(b) = V^2/b^4 + 2*b^2
* q'(b) = 4*(b - V^2/b^5)
* q''(b) = 4*(5*V^2/b^6 + 1)
* (4*(b - V^2/b^5) = 0) & (4*(5*V^2/b^6 + 1) > 0) & (b > 0) & (V > 0) ≡
≡ b^3 = V (cubo)

Eccone la riprova per i miscredenti 😉