[Risolto] I lati obliqui di un trapezio formano con la base maggiore due angoli di...

Con riferimento alla figura su allegata possiamo dire che essa è composta da due triangoli rettangoli ADH e BCK che sono ognuno la metà di un triangolo equilatero e da un rettangolo centrale CDHK avente dimensioni di 6 e 9 cm per costruzione.

Per quanto concerne il triangolo ADH abbiamo le seguenti dimensioni:

DH=9 cm; AD=2*9= 18 cm; l’altro cateto:

AH = √(18^2 - 9^2) = 9·√3 cm

L’area vale=1/2·(9·√3)·9 = 81·√3/2 cm^2

Il triangolo BCK ha :

CK= √3/2·BC = 9 cm--------------- >BC=9/(√3/2) = 6·√3 cm

BK=1/2·(6·√3) = 3·√3 cm

L’area vale 1/2·3·√3·9 = 27·√3/2 cm^2

Quindi il perimetro del trapezio ABCD vale:

(9·√3 + 6 + 3·√3) + 6·√3 + 6 + 18 = 18·√3 + 30 = 6·(3·√3 + 5) cm

L’area del trapezio:

81·√3/2 + 6·9 + 27·√3/2 = 54·√3 + 54 = 54·(√3 + 1) cm^2

I lati obliqui BC ed AD di un trapezio formano con la base maggiore due angoli di 30° e 60°. Sapendo che l'altezza DH = CK del trapezio è lunga 9 cm  e che la base minore HK è di 6 cm, determina le misure del perimetro e dell'area del trapezio.

DH/AH = tan 60°

AH = DH/tan 60° = 9/√3 = 9√3 /3 = 3√3

AD = AH/cos 60° = 6√3

CK/BK = tan 30°

BK = CK/tan 30° = 9*3/√3 = 27√3 /3 = 9√3

BC = CK/sen 30° = 9*2 = 18 cm

AB = AH+HK+BK = 3√3+6+9√3 = 6+12√3

perimetro 2p = 6+12√3+6+6√3+18 = 18√3+30 = 6(5+3√3) cm 

area A = (12+12√3)/2*9 = 54+54√3 = 54(1+√3) cm^2

Gli angoli di 30° e 60° sono caratteristici del triangolo rettangolo col cateto minore L/2 metà dell'ipotenusa L in quanto ottenuto dimezzando su un'altezza un triangolo equilatero di lato L, perciò il cateto maggiore (√3/2)*L vale l'altezza dell'equilatero.
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Misure in cm, cm^2.
D proiettato in H e C in K
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Che l'altezza del trapezio ABCD sia h = 9 vuol dire che da un lato si ha
* h = L1/2 = 9
* |DA| = L1 = 18
* |AH| = (√3/2)*18 = 9*√3
e dall'altro
* h = (√3/2)*L2 = 9
* |BC| = L2 = 6*√3
* |KB| = L2/2 = 3*√3
poi c'è il rettangolo centrale di base b = 6 e altezza h = 9
da cui
* |AB| = 9*√3 + 6 + 3*√3 = 6*(1 + 2*√3)
* p(ABCD) = 6*(1 + 2*√3) + 6*√3 + 6 + 18 =
* S(ABCD) = 9*(6*(1 + 2*√3) + 6)/2 = 54*(1 + √3)