[Risolto] Equazione cartesiana della superficie sferica

Ciao @elena_mancini

(x - 1)^2 + (y + 6)^2 + (z - 7)^2 = r^2 equazione della sfera

Determiniamo le equazioni parametriche della retta:

{x = 1 + α·t

{y = -2 + β·t

{z = γ·t

in modo tale che per t=0 abbiamo A (1.-2.0)

e per t = 1 abbiamo  B(2.3.-1)

{2 = 1 + α----> α = 1

{3 = -2 + β-----> β = 5

{-1 = γ-------> γ = -1

Quindi:

{x = t + 1

{y = 5·t - 2

{z = -t

Per sostituzione:

((t + 1) - 1)^2 + ((5·t - 2) + 6)^2 + (-t - 7)^2 = r^2

t^2 + (25·t^2 + 40·t + 16) + (t^2 + 14·t + 49) - r^2 = 0

27·t^2 + 54·t - r^2 + 65 = 0

Impongo la condizione di tangenza:

Δ/4 = 0----> 27^2 - 27·(65 - r^2) = 0

27·r^2 - 1026 = 0----> r = - √38 ∨ r = √38

(x - 1)^2 + (y + 6)^2 + (z - 7)^2 = 38

Il punto P di tangenza si ottiene in corrispondenza  del valore di r trovato

27·t^2 + 54·t - √38^2 + 65 = 0

27·t^2 + 54·t + 27 = 0

27·(t + 1)^2 = 0----> t = -1

{x = -1 + 1----> x = 0

{y = 5·(-1) - 2----> y = -7

{z = -(-1)-----> z = 1

P: [0, -7, 1]

La retta passante per $A$ e $B$ è

\begin{cases} x=1+t \\ y=-2+5t \\ z=-t \end{cases}

il vettore direttore di tale retta è $v_R=(1,5,-1)$, quindi un piano perpendicolare a tale retta ha equazione:

$x+5y-z+d=0$

imponendo il passaggio per $C$ si ottiene il piano:

$x+5y-z+36=0$

mettendo a sistema l'equazioni della retta e tale piano si trova il punto di tangenza fra retta e sfera. Se non ho sbagliato i conti tale punto si ottiene per $t=-1$ ed è

$P=(0,-7,1)$

quindi il raggio della sfera è la distanza $CP$, che risulta $CP^2=38$

L'equazione della sfera è pertanto:

$(x-1)^2+(y+6)^2+(z-7)^2=38$

Non garantisco sui numeri, ma un possibile procedimento è questo.

La generica sfera s di raggio R di centro C(1, - 6, 7) è
* s(R) ≡ (x - 1)^2 + (y + 6)^2 + (z - 7)^2 = R^2
-----------------------------
La retta r congiungente i punti A(1, - 2, 0) e B(2, 3, - 1) è quella di cursore
* P = A + k*(B - A) = (1, - 2, 0) + k*((2, 3, - 1) - (1, - 2, 0)) ≡
≡ P(1 + k, - 2 + 5*k, - k)
quindi di equazione
* r ≡ (x = k + 1) & (y = 5*k - 2) & (z = - k) ≡
≡ (x = 1 - z) & (y = - (5*z + 2))
-----------------------------
La distanza |Cr| = R è il minimo valore della |CP| che si ha minimizzando
* |CP|^2 = q(k) = 27*k^2 + 54*k + 65 = 27*(k + 1)^2 + 38
che, in quanto parabola del piano Okq ad apertura positiva, ha il minimo nel vertice V(- 1, 38)
da cui il piede H della distanza, il termine noto della sfera e la richiesta equazione.
* H(0, - 7, 1)
* R^2 = q(- 1) = 38
* s(√38) ≡ (x - 1)^2 + (y + 6)^2 + (z - 7)^2 = 38