Maturità

@gregorius molto interessanti a livello storico i commenti sul secondo problema:

Punto 3. Il calcolo dell’area richiede di conoscere l’integrazione per parti (questo argomento non è scritto esplicitamente nei programmi del 1945, ancora vigenti, del liceo scientifico)
Punto 4. Questo punto richiede di saper traslare una funzione (argomento non previsto dai programmi), di saper invertire una funzione (argomento non previsto dai programmi) e di saper calcolare il volume di un solido di rotazione attorno all’asse y (argomento non previsto dai programmi ancora vigenti).

@gregorius 👍👌👍+++++++

@moe In effetti dovrebbero specificare l’ambiente algebrico, però dato che alle superiori si considerano sempre le strutture classiche degli insiemi numerici credo sia sottinteso; ad ogni modo è interessante discutere anche i casi patologici 🙂

Confermo. 😉

@moe, @rebc La critica al punto 0/0 solleva una questione interessante, ma che, a mio avviso, si basa su un fraintendimento fondamentale su cosa significhi "dare un valore numerico" a un'espressione. Cerco di spiegarmi  scusandomi per la lunghezza della mia obiezione.

Il cuore della critica: @moe introduce il concetto di "relazione 0|0", che significa "0 divide 0". In aritmetica, si dice che un numero intero a divide b (e si scrive a|b) se esiste un intero m tale che b = m * a. In questo senso, la critica è formalmente corretta: 0|0 è una relazione vera nell'insieme degli interi, perché possiamo trovare infiniti m tali che 0 = m * 0.

Il punto debole (secondo me) della critica: C'è una differenza tra la relazione di divisibilità (a|b) e l'operazione di divisione (a/b). Il quesito chiede se all'espressione 0/0 si può attribuire un valore numerico, cioè un numero. Sta chiedendo il risultato dell'operazione.

La relazione 0|0 chiede: "È vero che 0 è un multiplo di 0?". La risposta è sì, ed è un fatto qualitativo (vero/falso).

L'operazione 0/0 chiede: "Quale numero, moltiplicato per 0, dà 0?". La risposta è: qualsiasi numero. Questo è il problema.

La definizione di divisione nel corpo dei numeri reali è: a / b = c se e solo se c è l'unico numero tale che b * c = a. Nel caso di 0/0, l'equazione 0 * c = 0 è vera per qualsiasi numero reale c. Non c'è unicità, e quindi l'operazione non è definita, non produce un risultato numerico univoco. La critica confonde l'esistenza di una relazione (che è una proprietà) con l'operazione aritmetica che deve dare un risultato preciso.

La replica di @RebC, molto centrata e pragmatica, è fondamentale per diversi motivi:

L'importanza del contesto: Ha perfettamente ragione: in matematica, il contesto è tutto. L'espressione 0/0 non ha lo stesso significato in tutti gli "ambienti algebrici". Nella teoria degli anelli (che si studia all'università), l'elemento 0/0 potrebbe essere definito in contesti molto specifici, ma mai come un'operazione binaria che restituisce un singolo valore. La critica, introducendo 0|0, si sta muovendo proprio sul terreno della teoria dei numeri (divisibilità in Z), che è un ambiente diverso da quello dei numeri reali con le operazioni di somma e prodotto.

Il contesto scolastico: Alle superiori, l'ambiente è implicitamente quello dei numeri reali (R) con le operazioni standard. In questo contesto, le regole sono chiare e condivise: non si divide per zero. Il prof. Tomasi, nella sua soluzione, lo spiega benissimo: il risultato dovrebbe essere unico, ma non lo è, quindi l'operazione non ha significato.

Aggiungo anche queste considerazioni

La differenza tra "forma indeterminata" e "operazione impossibile": È importante distinguere l'operazione aritmetica 0/0 (che è indefinita) dal concetto di "forma indeterminata" che si incontra nei limiti. Quando in analisi matematica si parla di "forma indeterminata 0/0", non si sta eseguendo la divisione, ma si sta descrivendo il comportamento limite di due funzioni che tendono entrambe a zero. Il risultato di quel limite può essere un numero finito qualsiasi, infinito, o non esistere. Il Prof. Tomasi, nel suo commento, accenna proprio a questo per chiarire l'eventuale fonte di confusione.

Il parallelo con 1/0: La critica si concentra solo su 0/0, ma è istruttivo confrontarla con 1/0. Qualcuno potrebbe forse provare a dire che "1 è divisibile per 0"? No, perché non esiste alcun numero m tale che 0 * m = 1. Quindi, mentre 0|0 è una relazione "vera" (ma parliamo di una proprietà diversa), 1|0 è una relazione "falsa". Eppure, nell'operazione, sia 0/0 che 1/0 sono entrambe indefinibili nel corpo dei reali, anche se per ragioni diverse: 1/0 è impossibile perché nessun numero soddisfa l'equazione, 0/0 è indeterminato perché troppi numeri la soddisfano.

Secondo me alla critica di @moe si potrebbe applicare quanto affermavano i docenti di lettere:"il tema è interessante ma è fuori argomento" perché parla di una cosa (relazione di divisibilità) mentre il quesito ne chiede un'altra (valore numerico di un'operazione).

@gregorius La ringrazio per avermi fatto notare la falla nel mio ragionamento: in effetti sapevo di non essere stato del tutto preciso. Il mio errore è stato interpretare il testo in modo puramente letterale, senza considerare la definizione rigorosa di divisione. Leggendo 'è possibile attribuire un valore numerico', l'ho inteso nel senso comune di 'almeno uno', e tramite la relazione di divisibilità ho semplicemente trovato e assegnato un candidato valido. Grazie alla sua osservazione, ho inquadrato il vero ostacolo logico: nel contesto che ho considerato, ovvero $(\mathbb{Z},/)$, essendo $/$ un'applicazione binaria, quell'espressione non è definita. L'operazione, infatti, non richiede semplicemente di trovare un numero che funzioni, ma impone una rigorosa condizione di unicità. La ringrazio ancora per la critica costruttiva.