[Risolto] LOGARITMI

A scanso di equivoci, preciso subito che ci muoviamo in R e in un contesto di scuola superiore.

Altrimenti viene qualcuno e si mette a fare una dotta dissertazione sui numeri complessi e ipercomplessi.

f(x) = ⁿ√ln(e^x-1)

Se n é dispari, basta che sia e^x > 1 => x > 0

Se invece é pari, deve essere pure ln (e^x - 1) >= 0

e^x - 1 >= 1 => e^x >= 2 => x >= ln 2

g(x) = ln ⁿ√(e^x-1)

In entrambi i casi deve essere e^x - 1 > 0 => x > 1 ( senza l'iguaglianza )

La convenzione sui radicali, in caso di n pari, garantisce la positività dell'argomento del logaritmo.

@EidosM
A scanso di equivoci, t'invito a parlare per te e di mutare la tua premessa in "A scanso di equivoci, preciso subito che MI MUOVO in R e in un contesto di scuola superiore" al singolare, a meno che "ci muoviamo" non sia un plurale maiestatis che, se è così, (ardisco far notare a Vostra Eccellenza) sarebbe dovuto essere "Ci Muoviamo" con le dovute maiuscole. Io ho visto le minuscole e mi sono sentito coinvolto; questo coinvolgimento cozza violentemente contro un pregiudizio culturale introjettato in 61 anni e 11 mesi di vita scolastica (dal 1° ottobre 1944 in cui entrai in prima elementare al 1° settembre 2006 in cui entrai in pensione ho SEMPRE o 'pagato tasse a' o 'riscosso stipendio da' una scuola): introdurre ipotesi semplificative rispetto alla lettera del tema PROVOCA BOCCIATURA.
Poiché il pregiudizio è come il luogo comune che nasce dalle frequenze osservate e poiché questo tipo di penalizzazione (voto abbassato o bocciatura) l'ho subita da studente e da esaminatore l'ho inflitta allora MI DISSOCIO: il testo di Morris2006 non indica né anno di corso né insiemi d'appartenenza altro che per "n ∈ N" (f, g, x non sono tipizzati) e, tanto per abbondare, non indica nemmeno se le 'n' in grassetto siano fattori delle radici quadrate oppure indici di radice scritti male (stante la giustapposizione, s'intendono fattori); solo nella seconda parte l'argomento "intersezioni fra grafici" implica che (f, g, x) siano reali.
La mia premessa per tutto ciò è un po' differente dalla tua.
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« @Morris2006
A scanso di equivoci, io rispondo a ciò che hai scritto e non a ciò che pensavi mentre stavi scrivendo. Se dopo aver letto la mia risposta scrivi precisazioni in un commento, la mia risposta ne resta immutata; se la precisazione mi convince che l'equivoco è mio allora ti scrivo una seconda risposta.»
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ESERCIZIO
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A) Discutere, al variare del parametro n ∈ N, il dominio delle funzioni
* f(x, n) = y = n*√ln(e^x - 1)
* g(x, n) = y = ln(n*√(e^x - 1))
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B) Per n = 3 e (f, g, x) reali
* f(x, 3) = y = 3*√ln(e^x - 1)
* g(x, 3) = y = ln(3*√(e^x - 1))
determinare le ascisse dei punti d'intersezione fra i grafici delle due funzioni.
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RISOLUZIONE A
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Dominio è il prodotto cartesiano fra gl'insiemi d'appartenenza delle variabili indipendenti: N × type[x].
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Codominio è l'insieme su cui può assumere valore la funzione: piano di Argand-Gauss.
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Insieme di definizione è il sottinsieme del dominio su cui la funzione ha valore.
Esponenziale, differenza, prodotto e radice quadrata sono definite ovunque; i logaritmi sono definiti se la base non è né zero né uno e se l'argomento non è zero; il logaritmo naturale ha base e > 1, quindi
* y = n*√ln(e^x - 1) è definita per e^x - 1 != 0 ≡ x != 0
* y = ln(n*√(e^x - 1)) è definita per n*√(e^x - 1) != 0 ≡ √(e^x - 1) != 0 ≡ x != 0
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Insieme di definizione reale è il sottinsieme del dominio su cui la funzione ha valore reale.
Esponenziale, differenza e prodotto sono definite reali ovunque; la radice quadrata è definita reale per radicando non negativo; i logaritmi sono definiti reali se la base è positiva e non è uno e se l'argomento è positivo; il logaritmo naturale ha base e > 1, quindi
* y = n*√ln(e^x - 1) è definita reale per (e^x - 1 > 0) & (ln(e^x - 1) >= 0) ≡ x >= ln(2)
* y = ln(n*√(e^x - 1)) è definita per (e^x - 1 >= 0) & (n*√(e^x - 1) > 0) ≡ e^x - 1 > 0 ≡ x > 0
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RISOLUZIONE B
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* f(x, 3) = y = 3*√ln(e^x - 1) è definita reale per x >= ln(2) > 0
* g(x, 3) = y = ln(3*√(e^x - 1)) è definita reale per x > 0
quindi le intersezioni sono tutte e sole le soluzioni in (x, y) del sistema
* (y = 3*√ln(e^x - 1)) & (y = ln(3*√(e^x - 1))) & (x >= ln(2))
con risolvente
* 3*√ln(e^x - 1) = ln(3*√(e^x - 1)) ≡
≡ 3*√ln(e^x - 1) = ln(√(e^x - 1)) + ln(3) ≡
≡ 3*√ln(e^x - 1) - ln(e^x - 1)/2 = ln(3) ≡
≡ 6*√ln(e^x - 1) - ln(e^x - 1) = 2*ln(3) = ln(9) ≡
≡ 6*u - u^2 = c ≡
≡ u = 3 ± √(9 - c) ≡
≡ (√ln(e^x - 1) = 3 - √(9 - ln(9))) oppure (√ln(e^x - 1) = 3 + √(9 - ln(9))) ≡
≡ (x = ln(1 + e^((√(9 - ln(9)) - 3)^2)) ~= 0.773 > ln(2))
oppure
≡ (x = ln(1 + e^((√(9 - ln(9)) + 3)^2)) ~= 31.5 > ln(2))
che sono le ascisse richieste.