Lagrange con parametri

$ f(x) = \begin{cases} -x^2+ax-11 \qquad \text{se x ≤ 1} \\ \frac{b}{x} \qquad \qquad \qquad\quad \text{se x > 1} \end{cases} $

$ f'(x) = \begin{cases} a-2x \quad \qquad \text{se x ≤ 1} \\ -\frac{b}{x^2}\qquad \qquad \text{se x > 1} \end{cases} $

Per poter applicare Lagrangia la funzione deve essere continua e derivabile in [0, 3].

Tutte le funzioni che compaiono lo sono, rimane però da verificare che lo siano anche nel punto di raccordo x = 1

i) La funzione è continua per x = 1
$ \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = a-12 $
$ f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = b $

per essere eguali è necessario che sia b = a - 12   (*)

ii) La funzione è derivabile per x = 1
$ D^-f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f'(x) = a-2 $
$ D^+f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f'(x) = - b $

per essere eguali è necessario che sia b = 2-a   (*)

Poniamo le due equazioni contrassegnate con (*) a sistema

$ \begin{cases} b &= a-12 \\ b &= 2-a \end{cases} $

La cui soluzione è : $ a = 7    \quad ∧ \quad b = -5 $