Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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punti
Livello 2
$ f(x) = \begin{cases} x^2+ax-1 \qquad \; \text{se x < 0} \\ -4x^2+x+b \qquad \text{se x ≥ 0} \end{cases} $
$ f'(x) = \begin{cases} 2x+a \quad \qquad \text{se x < 0} \\ -8x+1 \quad \quad \text{se x ≥ 0} \end{cases} $
Per poter applicare Lagrangia la funzione deve essere continua in [-2, 0].
Tutte le funzioni che compaiono lo sono, rimane però da verificare che lo siano anche nel punto di raccordo x = -1
i) La funzione è continua per x = -1
$ \displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = -a $
$ f(-1) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = b-5 $
per essere eguali è necessario che sia a = 5 - b (*)
ii) La funzione è derivabile per x = -1
$ D^-f(-1) = \displaystyle\lim_{x \to -1^-} f'(x) = a-2 $
$ D^+f(-1) = \displaystyle\lim_{x \to -1^+} f'(x) = 9 $
per essere eguali è necessario che sia a = 11
dalla (*) segue che b = - 6
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Livello 6