Lagrange con parametri

$ f(x) = \begin{cases} \frac{ax^2-1}{x+b} \qquad \text{se x ≤ 1} \\ lnx \qquad\quad \text{se x > 1} \end{cases} $

$ f'(x) = \begin{cases} \frac{ax(2b+x) +1}{(x+b)^2}  \qquad \text{se x ≤ 1} \\ \frac{1}{x} \qquad \qquad\qquad\text{se x > 1} \end{cases} $

Per poter applicare Lagrangia la funzione deve essere continua e derivabile in [-1, 2].

Tutte le funzioni che compaiono lo sono, rimane però da verificare che lo siano anche nel punto di raccordo x = 1

i) La funzione è continua per x = 1
$ \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{a-1}{b+1} $
$ f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 $

per essere eguali è necessario che sia b +1 = a - 1   (*)

ii) La funzione è derivabile per x = 1
$ D^-f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \frac{a(2b+1) + 1}{(1+b)^2} $
$ D^+f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f'(x) = 1 $

per essere eguali è necessario che sia (1+b)^2 = a(2b+1) + 1  (*)

Poniamo le due equazioni contrassegnate con (*) a sistema

$ \begin{cases} b +1 = a - 1 \\ (1+b)^2 = a(2b+1) + 1 \end{cases} $

Il sistema ammette due soluzioni;

1. $a = 0  \quad ∧ \quad b = -2 $   soluzione valida
2. $a = 1  \quad ∧ \quad b = -1 $   soluzione non accettabile. Infatti si avrebbe

$ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1} \qquad \qquad \text{se x ≤ 1} \\ lnx +1 \quad \quad\text{se x > 1} \end{cases} $

Osserviamo che il tratto $  y(x) = \frac{x^2-1}{x-1} $ non è definit nel punto x = 1 quindi Lagrangia non è applicabile.